洛谷 2015 二叉苹果树

      原题链接：https://www.luogu.org/problem/P2015

      题意就是给你n-1条树枝，每条树枝上都带有一定的苹果，问最后留下m根树枝，能拥有的苹果的最大值，根节点为1，每个节点只有2种情况，有2个儿子，或没有儿子。

      这题是一个很典型的树形结构，因为节点以边相连，又为二叉结构，无环。我们这时候从根节点下顺，找到最深的儿子，然后一步步开始回溯，以当前回溯到的这个点作为根，考虑他

有几条边的最大值。那从下至上递推回去，根节点的状态只与2个子节点有关，很明显，这就是一个dp，且是树形的。

      本题的状态转移方程要先列出：dp[i][j]=max{ dp[i][j],dp[i][j-k-1]+dp[son[i]][k]+val[i][son[i]] }(0<=j<=m,0<=k<j).接下来解释这个方程从何而来。

    

     以样例为例，我们这时候从根节点1向下搜索，找到了2，可是2这时候作为单点，并不存在边，便回溯，到3，这时候3-2有一条边，我们可以考虑是否要添这条边，dp[3][1]这时候要由dp[2][0]

转移而来，为什么呢，因为这时候3如果要与2相连，是肯定要加3-2这条边，不然子树与根就无法连接起来了吧。接下来查到5这个点回溯，可以处理dp[3][2]了，dp[3][2]只由dp[5][0]和dp[5][1]而来，

因为3-2处理过了对吧，由dp[5][1]而来的时候，为什么加的是dp[3][0]呢？(请注意观察式子，可以用笔推导），因为前面有提到过，若要根与子树相连，必须选取根与子树的根的边。所以整个式子

就很好理解，你当前的这个点的儿子取j条边，你的根就只能取m-j-1条边。

     代码实现如下：

    

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[105][105];
vector<int>son[105];
int val[105][105];
int vis[105];
int n,m;
void dfs(int x)
{
    int len=son[x].size();
    vis[x]=1;///经过的点打上标记，不再处理
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        int y=son[x][i];
        if(vis[y]==1)
        {
            continue;
        }
        vis[y]=1;///谁先到谁是爹
        dfs(y);
        for(int j=m;j>=1;j--)
        {
            for(int k=j-1;k>=0;k--)
            {
                dp[x][j]=max(dp[x][j],val[x][y]+dp[y][k]+dp[x][j-k-1]);///文中解释
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        son[u].push_back(v);
        son[v].push_back(u);
        ///这里建双向边，主要是不知道哪个是父亲，所以添加双向边。
        val[u][v]=w;
        val[v][u]=w;
        ///这里我与网上的做法不同，他们喜欢把值赋予节点上，那样子不好理解，这样的赋值可以直观看出他就是边权
    }
    dfs(1);///从根节点开始
    cout<<dp[1][m]<<endl;///回溯至最开始的根节点，m条边的最大值
}