学习线性基

参考博客：

https://blog.csdn.net/a_forever_dream/article/details/83654397

https://ouuan.github.io/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%9F%BA%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AC%94%E8%AE%B0/

https://blog.sengxian.com/algorithms/linear-basis

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线性基性质：

1、原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到。
2、线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到0 00
3、线性基里面的数的个数唯一，并且在保持性质一的前提下，数的个数是最少的

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解决的问题

1、最大异或和

2、第 kk 大异或和/异或和是第几大

3、求所有异或值的和

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【例题】P3812 【模板】线性基

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 70;
typedef struct LB{
    ll d[M];
    void Insert( ll x ){
        ll t = x ;
        for(ll i=62;i>=0;i--){
            if( (x & (1ll<<i))  ){
                if( d[i] ){
                    x ^= d[i];
                }else {
                    d[i] = x;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    ll Max(){
        ll ans = 0 ;
        for(int i=62;i>=0;i--){
            ans = max( ans , ans ^ d[i] );
        }
        return ans;
    }
}LB;
LB s;
int n;
ll a[M];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        s.Insert(a[i]);
    }

    return printf("%lld
",s.Max())*0;
}

【例题】P4570 [BJWC2011]元素

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 70;
const int N = 1e3+10;
typedef struct Node {
    ll No;
    ll val;
    bool operator < ( const Node & rhs) const {
        return val > rhs.val;
    }
}Node ;
Node a[N];
typedef struct LB{
    ll d[M];
    bool Insert( ll x ){
        for(int i=62;i>=0;i--){
            if( (1ll<<i) & x ){
                if(d[i]){
                    x ^= d[i];
                }else{
                    d[i] = x ;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false ;
    }

}LB;
LB s;
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",&a[i].No,&a[i].val);
    }
    sort( a+1 , a+1+n );
    ll ans = 0 ;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if( s.Insert(a[i].No) )
            ans += a[i].val;
    }
    return printf("%lld
",ans)*0;
}

【例题】P3857 [TJOI2008]彩灯

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100;
char s[N][N];
ll a[N];
int n,m;
struct LB{
    ll d[70];
    bool Insert( ll x ){
        for(int i=62;i>=0;i--){
            if( (x>>i)&1 ){
                if(!d[i]){
                    d[i] = x ;
                    return true;
                }else{
                    x ^= d[i] ;
                }
            }
        }
        return false ;
    }
}S;
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){

        for(int j=m-1;j>=0;j--){
            a[i] = a[i]+ (1ll*(s[i][j]=='O')<<(m-1-j)) ;
        }
        //printf("%lld
",a[i]);
    }
    int k = 0 ;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if( S.Insert(a[i]) )
            k++;
    }

    ll ans = 1 ;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        ans = (ans<<1) % 2008 ;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

【例题】P3292 [SCOI2016]幸运数字

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 20010;
const int M = 60 ;

template < class T >
void read( T& x ){
    x = 0;
    int f = 1 ;
    char c = getchar() ;
    while(  c<'0'||c>'9' ) {
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while( c>='0'&&c<='9' ) {
        x = x * 10 + c - '0';
        c = getchar();
    }
    x = x * f ;
}
inline ll max( ll x,ll y ){
    return x > y ? x : y ;
}
typedef struct Edge {
    int to , next ;
}Edge ;
Edge e[N<<1] ;
int n,Q,head[N],cnt;

inline void add_edge(int u,int v){
    e[ cnt ] = Edge{ v , head[u] };
    head[u] = cnt ++ ;
}

ll G[N],p[N][16][M+1],Ans[M+1]; //价值，树上线性基，答案线性基
int up[N][16],dep[N] ; //前缀第2^k个 和 深度

inline void Insert( ll x ){
    for(int i = M ; ~i ; i-- ){
        if( x >> i ){
            if( !Ans[i] ) { Ans[i] = x ; break ; }
            else x ^= Ans[i] ;
        }
    }
}
inline void Insert( int u , int d , ll x ){
    for(int i = M ; ~i ; i-- ){
        if( x >> i ){
            if( !p[u][d][i] ) { p[u][d][i] = x ; break; }
            else x ^= p[u][d][i] ;
        }
    }
}

void dfs(int u,int Fa){
    dep[u] = dep[Fa] + 1 ;
    up[u][0] = Fa ;

    Insert( u , 0 , G[u] );

    for(int i=1 ; i <= 15 ; i++ ){

        up[u][i] = up[up[u][i-1]][i-1];   // 爸爸的爸爸是爷爷

        if( !up[u][i] )  break;         // 因为根结点为虚点0

        for( int j=M ; ~j ; j-- ){
            if( p[u][i-1][j] ) Insert( u , i , p[u][i-1][j] );
            if( p[up[u][i-1]][i-1][j] ) Insert( u , i ,p[up[u][i-1]][i-1][j] );
        }
    }
    for( register int i = head[u] ; ~i ; i=e[i].next ){
        if( e[i].to != Fa ) dfs( e[i].to , u ) ;
    }
}
ll query ( int u , int v ){
    memset( Ans , 0 , sizeof Ans );     //对于多次询问，清空线性基

    if( dep[u] < dep[v] ) swap(u, v);   //默认u为更低点

    for(int i=15;~i;i--){               //利用二进制的想法，爬到同一高度
        if( dep[up[u][i]] >= dep[v] ){  //同时把对爬高的过程，对应结点的值插入线性基
            for(int j=M;~j;j--)
                if( p[u][i][j] ) Insert( p[u][i][j] );
            u = up[u][i] ;
        }
    }

    if( u^v ){          //对于不同的位置来说，需要大家同时迈步走
        for(int i=15;~i;i--){
            if( up[u][i] != up[v][i] ){ //双方都把对应的结点位置的值，插入答案线性基
                for(int j=M;~j;j--){
                    if( p[u][i][j] ) Insert( p[u][i][j] );
                    if( p[v][i][j] ) Insert( p[v][i][j] );
                }
                u = up[u][i] , v = up[v][i];
            }
        }
        Insert(G[u]), Insert(G[v]), Insert(G[up[u][0]]);
    }else Insert(G[u]);

    ll res = 0;
    for(int j=M ; ~j ;j-- ){
        res = max ( res , res^Ans[j] );
    }
    return res ;
}

int main(){
    memset( head,-1,sizeof head );
    read(n) , read(Q) ;
    for( register int i=1 ; i<=n;i++ ) read(G[i]);
    int u,v ;
    for( register int i=1 ; i^n ;i++ ) {
        read(u) , read(v) ;
        add_edge(u, v), add_edge(v, u);
    }
    dfs(1, 0);

    while( Q-- ){
        read(u), read(v) ;
        printf("%lld
",query(u,v));
    }
    return 0 ;
}

/*
 *
4 2
11 5 7 9
1 2
1 3
1 4
2 3
1 4

14
11
 */