素数

前言

自闭，数学差果然是这样的

题目

【问题描述】

我们定义(v(i))表示小于等于(i)的最大素数，(u(i))表示大于(i)的最小素数，求(sum_{i=2}^nfrac{1}{v(i)u(i)})的值，以最简分数的形式输出。

【输入描述】

第一行一个正整数(t)，表示测试数据数量
每组测试数据一行一个正整数(n)

【输出描述】

对于每组测试数据输出一个答案。

【样例】

Sample Input

2
2 3

Sample Output

1/6
7/30

【数据范围】

对于(30\%)的数据，(t <= 10,n <= 10^4)
对于(100\%)的数据，(t <= 500,n <= 10^9)

讲解

我们将(v(i),u(i))相同的一些数提出来康康

[sum_{i=1}^{u(i)-v(i)}frac{1}{v(i)u(i)}=frac{1}{v(i)}-frac{1}{u(i)} ]

裂项！

于是对于(n)，我们找出(v(n),u(n))

[egin{aligned} sum_{i=2}^{n}&=sum_{i=2}^{v(n)-1}+sum_{v(n)}^{n}\ &=frac{1}{2}-frac{1}{v(n)}+frac{n-v(n)+1}{u(n)v(n)}\ &=frac{v(n)u(n)-2u(n)+2(n-v(n)+1)}{2v(n)u(n)} end{aligned}]

然后化简即可

什么？你问我怎么找(v(n),u(n))？

难道没人告诉过你质数在(n)以内的分布大概有(frac{n}{ln n})个？

所以平摊下来我们暴力找只需要(ln n)的时间就可以找到了

甚至还可以用(O(sqrt n))的时间判断质数，这并不会TLE

记得开( exttt{long long})

代码

bool prime(int x)
{
	for(int i = 2;i*i <= x;++ i)
		if(x % i == 0)
			return 0;
	return 1;
}
LL gcd(LL x,LL y)
{
	if(!y) return x;
	return gcd(y,x%y);
}

int main()
{
//	freopen("prime_0.in","r",stdin);
//	freopen("mine.out","w",stdout);
	for(int T = Read(); T ;-- T)
	{
		n = Read();
		if(n == 2) {printf("1/6
");continue;}
		LL v = n,u = n+1;
		while(!prime(v)) v--;
		while(!prime(u)) u++;
		LL fz = v*u - 2*u + 2*(n-v+1),fm = 2*v*u;
		LL d = gcd(fz,fm);
		fz /= d; fm /= d;
		Put(fz,'/'),Put(fm,'
');
	}
	return 0;
}