BZOJ1002【FJOI2007】轮状病毒

1002: [FJOI2007]轮状病毒

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Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

HINT

Source

题解：

        一道及其艰辛的推导题；（感觉bzoj的前两个题对新人不太友好啊）

        当然可以用基尔霍夫矩阵；

        打表可得$g_i = 3g_{i-1} - g_{i-2} + 2$；再用一个高精度就好了   

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=110,base = 1e4;
int n;
struct Bign{
    int c[N],len;
    Bign(){memset(c,0,sizeof(c));len=0;}
    void zero(){while(len&&!c[len])len--;}
    void print(){
        zero();
        printf("%d",c[len]);
        Don(i,len-1,0)printf("%04d",c[i]);
        puts("");
    }
    Bign operator -(const Bign&A){
        Bign ret;
        ret.len = len;
        for(int i=0;i<=len;i++){
            ret.c[i] += c[i] - A.c[i];
            if(ret.c[i]<0){
                ret.c[i] += base;
                ret.c[i + 1] --;
            }
        }
        ret.zero();
        return ret;
    }
    Bign operator +(const int&A){
        Bign ret;
        ret = *this;
        ret.len = len + 1;
        ret.c[0] += A; 
        for(int i=0;i<=len;i++){
            if(ret.c[i]>=base){
                ret.c[i] -= base;
                ret.c[i+1] ++;
            }
        }
        ret.zero();
        return ret;
    }
    Bign operator *(const int&A){
        Bign ret;
        ret.len = len + 1;
        for(int i=0;i<=len;i++){
            ret.c[i] = c[i] * A;
        }
        for(int i=0;i<=len;i++){
            if(ret.c[i]>=base){
                ret.c[i+1]+=ret.c[i]/base;
                ret.c[i] %= base;
            }
        }
        ret.zero();
        return ret;
    }
}f[N];
int main(){
    freopen("bzoj1002.in","r",stdin);
    freopen("bzoj1002.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    f[1].len  = 0;
    f[1].c[0] = 1;
    f[2].len = 0;
    f[2].c[0] = 5;
    //f[1].print();
    //f[2].print();
    for(int i=3;i<=n;i++){
        f[i] = f[i-1]*3 - f[i-2] + 2;
    //    f[i].print();
    }
    f[n].print();
    return 0;
}//by tkys_Austin;

      可以用递推证明：
①先不考虑中间的点，最后再将中间的点和外面的点连起来，假设某种方案将外面的环分成了i条链，每条的点数为si，每个链都可以任选一个点连上中间的点，这种方案的贡献就为$prod_i si$,

设长度为i的链分成若干链的$sum prod_i si$为$f_i$，轮状病毒的总方案的为$g_i$

$g_n$的转移枚举第一个点所在的链的长度s1，此时1的位置一共有s1种可能，再乘上剩下的长度为n-s1的链的方案数$f_{n-s1}$；

$f_n$的转移枚举最后一段链的长度，用最后一段链的长度乘剩下的$f_j$

$$left{egin{array}{c}f_0 = 1\f_i = sum_{j=0}^{i} (j-i)f_jend{array} ight.$$ 

$$left { egin{array}{c} g_0 = 1\g_i = sum_{j=0}^{i} (j-i)^2 {f_j} end{array} ight.$$

我们先证明：$f_{i-1} + f_{i+1} = 3f_{i}$

$$f_{i-1} + f_{i+1}\= sum_{j=0}^{i-1}(i-1-j)f_{j} + sum_{j=0}^{i+1}(i+1-j)f_{j} \= sum_{j=0}^{i-1}2(i-j)f_{j} + f_i \= 2 sum_{j=0}^{i}(i-j)f_{j} + f_i \= 2 f_i + f_i \= 3 f_i $$

再对g同样操作：     

$$g_{i-1} + g_{i+1} \
= sum_{j=0}^{i+1}(i+1-j)^2 f_j + sum_{j=0}^{i-1}(i-1-j)^2 f_j \
= sum_{j=0}^{i-1}((i+1-j)^2 + (i-1-j)^2) f_j + f_i \
= sum_{j=0}^{i-1}2((i-j)^2 + 1)f_j + f_i \
= 2 sum_{j=0}^{i}(i-j)^2 f_j + 2 sum_{j=0}^{i-1}f_j + f_i \
= 2 g_i + 2 + 2 sum_{j=1}^{i-1}f_j + fi \
$$

尝试把右边那坨化成理想的目标$g_i$:

$$2sum_{j=1}^{i-1}f_{j} + f_{i} \
= 2sum_{j=1}^{i-1}sum_{k=0}^{j}(j-k)f_{k} + f_{i} $$
改变一下求和顺序 \
$$= 2sum_{k=0}^{i-1}f_{k} sum_{j>k}^{i-1}(j-k) + f_{i} $$
不知道我下标写对没有。。。后面的1直接求 \
$$= 2sum_{k=0}^{i-1}f_{k} frac{(i-1-k)(i-k)}{2} + f_{i} $$

看到分子出现2，感觉有希望QAQ，约掉

$$  =  sum_{k=0}^{i-1}f_{k} (i-1-k)(i-k) + f_{i} $$ $$  = sum_{k=0}^{i-1}(i-k)^2 f_{k} - sum_{k=0}^{i-1}(i-k)f_{k} + f_{i} $$ $$  = sum_{j=0}^i    (i-j)^{2}   f_j   -   sum_{j=0}^i   (i-j)   f_j   +   f_i$$ $$  = g_{i} - f_{i} + f_{i} \= g_{i}   $$

带回去就是原来的式子了。。。。。。。。。

（mathjax好难用。。。。。）