纠删码简介

纠删码（Erasure Code）中的数学知识

背景

　　在数据存储领域，Hadoop采用三副本策略有效的解决了存储的容错问题，但是三副本策略中磁盘的利用效率比较低，仅有33%，而且副本带来的成本压力实在太高，后来适时的出现了纠删码的概念。当冗余级别为n+m时，将这些数据块分别存放在n+m个硬盘上，这样就能容忍m个（假设初始数据有n个）硬盘发生故障。当不超过m个硬盘发生故障时，只需任意选取n个正常的数据块就能计算得到所有的原始数据。纠删码以更低的存储成本备受青睐，目前Microsoft、Google、Facebook、Amazon、淘宝（TFS）都已经在自己的产品中采用了Erasure Code.

　　在以上背景的基础上，本文在纠删码的编码、解码中采用的矩阵数学知识，以及矩阵分解中用到的LU分解等数学知识进行分析，并在文末给出相应的代码示例。

纠删码工作原理简介：

　　RS(Reed-Solomom)码是一种比较常见的纠删码，它的两个参数m和n分别代表校验块个数和原始数据块个数。

纠删码编码过程：

在图中的编码过程，C代表校验块，D代表原始的数据块。

当丢失了部分数据，如图

 

纠删码解码过程：

Step1:在编码矩阵中去掉丢失数据块以及该数据块对应的行。即B矩阵变为了n*n 维度的方阵，C与D组合的矩阵由（n+m）行变为n行，在上述假设过程中，我们得到新的矩阵以及对应的矩阵运算关系式，其中在丢失了部分数据块后，D所代表的原始数据块便成为了要求的目标。

 Step2:求B’的逆矩阵。

 

Step3：可以采用对等式两边同时乘上B’的逆矩阵，于是得到所求解。

 

 

为了保证B’逆矩阵是存在的，必须保证B’矩阵是可逆的，在通常的计算过程中，用于校检的黄色部分数据块采用范德蒙矩阵。

函数Inverse[B′]代表B'的逆矩阵，I代表单位矩阵:

Inverse[B′]∗B′∗D=Inverse[B′]∗S
I∗D=Inverse[B′]∗S
D=Inverse[B′]∗S

Python模拟纠删码数据恢复的流程

# Erasure Code
import numpy as np
# 备份数量
backup_up = 2
# 原始数据
data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
# 根据纠删码原理生成的数据
vander_data = np.concatenate((np.identity(len(data)), np.vander(data, 3).transpose()::-1]), axis=0)
storage_data = vander_data.dot(data)
print('生成数据',storage_data)
# 模拟数据丢失
loss_data = np.concatenate((storage_data[0:3], storage_data[5:7]), axis=0)print('丢失后数据', loss_data)
# 恢复数据
recover_data = np.linalg.inv(np.concatenate((vander_data[0:3], vander_data[5:7]), axis=0)).dot(loss_data)
print('恢复数据',recover_data)

# 输出结果
# 生成数据 [  1.   2.   3.   4.   5.  15.  55. 225.]
# 丢失后数据 [ 1.  2.  3. 15. 55.]
# 恢复数据 [1. 2. 3. 4. 5.]　　

正交分解

　　矩阵的正交分解又称为QR分解，是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。任意实数方阵A，都能被分解为 。这里的Q为正交单位阵，即 R是一个上三角矩阵。这种分解被称为QR分解。 QR分解也有若干种算法，常见的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。这里仅记录一下第一种分解的计算过程（Matlab代码以及例题计算过程）。

Schmidt正交化

　　定理1 设A是n阶实非奇异矩阵,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外,分解是唯一的.

　　定理2 设A是m×n实矩阵,且其n个列向量线性无关,则A有分解A=QR,其中Q是m×n实矩阵,且满足QHTQ=E,R是n阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外是唯一的.用Schmidt正交化分解方法对矩阵进行QR分解时，所论矩阵必须是列满秩矩阵。

算法步骤

1. 写出矩阵的列向量;
2. 列向量按照Schmidt正交化正交;
3. 得出矩阵的Q′,R′;
4. 对R′的列向量单位化得到Q，R′的每行乘R′每列的模

matlab代码

function[X,Q,R] = QRSchmidt(A,b)
%方阵的QR的Gram-Schmidt正交化分解法，并用于求解AX=b方程组[m,n]=size(A); 
if m~=n
    %如果不是方阵，则不满足QR分解要求
    disp('不满足QR分解要求');
end
Q=zeros(m,n);
X=zeros(n,1);
R=zeros(n);
for k=1:nR(k,k)=norm(A(:,k));
    if R(k,k)==0
        break;
    end
    Q(:,k)=A(:,k)/R(k,k);
    for j=k+1:n
        R(k,j)=Q(:,k)'*A(:,j); 
        A(:,j)=A(:,j)-R(k,j)*Q(:,k);
    end
if nargin==2
    b=Q'* b;
    X(n)=b(n)/R(n,n);
    for i=n-1:-1:1
        X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);
    end
else
    X=[];
end
end

手撕计算过程

 

matlab自带方法

%产生一个3*3大小的魔方矩阵
A=magic(3)
[Q,R]=qr(A)

参考文献：

• 数值分析--矩阵QR分解的三种方法

• Math-Model（五）正交分解(QR分解)