为什么点积等价于投影后的乘积

为什么点积等价于投影后的乘积

先上结论：

1. (oldsymbol v)和(oldsymbol w)点积，就是向量乘法(oldsymbol v × oldsymbol w^T)；

2. (oldsymbol w)象征着一个降维变换矩阵，因此该矩阵乘法本质上是一个(oldsymbol v)降维的过程；

3. 该降维变换在几何上正是投影过程。

综上，点积的几何意义就是投影相乘。

摘自《Essence of linear algebra》系列视频，非常精彩。B站上有全集～

要理解这一点，需要线性代数基础，要理解矩阵和变换之间的关系。

• 为什么点积等价于投影后的乘积
  • 1. 复习点积
  • 2. 点积的对称性
  • 3. 矩阵与变换的关系
  • 4. 一维矩阵也是一种线性变换
  • 5. 最终解释：为什么是投影

1. 复习点积

我们所学的向量点积是这样的：

其几何解释为：向量(oldsymbol w)在向量(oldsymbol v)上投影，投影长度和(|oldsymbol v|)相乘。

借助这一几何解释，我们可以直观地理解：

• 向量正交：点积为0

• 投影为反方向：点积为负。

2. 点积的对称性

注意！理解、证明点积的对称性，对我们的证明至关重要！

假设(oldsymbol w igodot oldsymbol v)，对称性的意思是：
无论是(oldsymbol v)在(oldsymbol w)上作投影再乘，还是(oldsymbol w)在(oldsymbol v)上作投影再乘，结果都是一样的。

现在我们证明这一点。

如图，假设二者长度相同，那么对称性显然成立：因为投影长度是一样的。

现在，假设(oldsymbol w)更长。
我们在(oldsymbol w)的方向上取(oldsymbol w')，使得(|oldsymbol w'|)等于(|oldsymbol v|)。

我们先考虑(oldsymbol w' igodot oldsymbol v)。由于长度相同，对称性是显然的。
而(oldsymbol w igodot oldsymbol v)，和(oldsymbol w' igodot oldsymbol v)只相差常数(alpha)倍：

[alpha = frac{|oldsymbol w|}{|oldsymbol w'|} ]

3. 矩阵与变换的关系

这一节内容，强烈建议观看推荐视频：《Essence of linear algebra》。

假设现在有矩阵：

[ egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ end{bmatrix} ]

这是一个单位阵，作用在任何一个向量([a,b])上，仍然会得到([a,b])。

本质原因是：

• 单位阵第一行([1,0])，代表的是基向量(oldsymbol i = [1,0])变换后的位置；

• 同理，单位阵第二行([0,1])，代表的是基向量(oldsymbol j = [0,1])变换后的位置。

显然两个基向量的位置都没发生变化，因此这个变换没有任何变化效果。

而(a)是基向量(oldsymbol i)是权重，(b)是基向量(oldsymbol j)是权重，([a,b])可以拆解为(aoldsymbol i + boldsymbol j)。
由线性性，对任意一个向量([a,b])进行线性变换，等于两个分量分别变换，再相加。
因此任意一个向量与单位阵相乘仍然是其本身。

再举一个例子。设有矩阵：

[ egin{bmatrix} 1 & 0 \ frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} \ end{bmatrix} ]

与向量([a,b])相乘，结果为：

[[a,b] egin{bmatrix} 1 & 0 \ frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} \ end{bmatrix} = [a+frac{1}{sqrt{2}}b,frac{1}{sqrt{2}}b] ]

如果理解了矩阵和变换的含义，理解这个结果就特别简单：

1. 基向量(oldsymbol i)纹丝不动，而基向量(oldsymbol j)变换到了([frac{1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}}])。

2. ([a,b])可以拆解为(aoldsymbol i + boldsymbol j)；

3. 因此([a,b])变换到了(a[1,0] + b[frac{1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}}])，结果就是([a+frac{1}{sqrt{2}}b,frac{1}{sqrt{2}}b])

4. 一维矩阵也是一种线性变换

线性性对我们的证明特别重要，可以解释为什么能分别对基向量作变换，再叠加。

我们都知道，线性性包含齐次性和叠加性。
要证明某一个变换是线性变换，就必须证明该变换具有这两个性质。

我们在这里省略严格的证明，换一个直观的角度予以证明。
线性变换有一个直观的特点：
在二维空间中，如果有一系列等距分布于同一直线上的点：

那么线性变换之后，这些点在数轴上仍是等距分布的：

能证明这一点暂时就足够了。
与上一节不同的是，我们现在介绍的是降维变换（2D→1D）。但矩阵和变换的关系还是相同的：
原本二维空间的基向量是[1,0],[0,1]:

现在变成了数轴上的两个点，也就是两个数（动画更直观，推荐看视频）：

该过程满足保持等距条件。
因为如果把作用向量放大(alpha)倍，实际上就是把两个基向量的权重分别放大(alpha)倍。
被变换作用后再叠加，效果也是放大(alpha)倍。因此等距点仍然是等距点。

这样，我们就粗略说明了该变换是线性变换。

因此我们完全可以认为：
向量[2,1]表征一个从二维到一维的线性变换，将基向量(oldsymbol i)变换至数轴点2，将基向量(oldsymbol j)变换至数轴点1。

5. 最终解释：为什么是投影

现在，我们解释为什么点积可以用投影后的乘积来解释。

我们先来看一个单位向量(oldsymbol u)。

由于是单位向量，因此(oldsymbol i = [1,0])往(oldsymbol u)上做投影，和(oldsymbol u)往(oldsymbol i = [1,0])（也即x轴）上做投影，长度是一样的！
也就是说：图中绿色虚线投影得到的投影长度，等于(oldsymbol u)的横坐标(u_x)。
同理：图中红色虚线投影得到的投影长度，等于(oldsymbol u)的纵坐标(u_y)。

好了。此时假设向量(oldsymbol w)要和单位向量(oldsymbol u)点积。
由上一节推出的性质，基向量在变换(oldsymbol u)下，会分别映射（降维）到点(u_x)和(u_y)。

设(oldsymbol w = [w_x,w_y])，那么(oldsymbol w)就会映射到(w_xu_x+w_yu_y)。
这就是点积！！！

所以，为什么可以理解为：(oldsymbol w)先投影到(oldsymbol u)上，再做乘积呢？

1. (oldsymbol w)可以拆解为基向量的加权组合。

2. 每一个基向量与变换(oldsymbol u)（先规定为单位向量）作用的结果，又可以分为：

   1. 该变换相当于投影到(oldsymbol v)所在数轴上的一点。

   2. 该点的坐标，正是(oldsymbol u)的横坐标或纵坐标。

   3. 由线性性，基向量分别变换后再相加，等价于向量(oldsymbol w)整体变换的结果。因此我们把两个投影值相加，就得到了最终结果。

3. 因此，从计算过程上看就是：坐标和权重相乘，再相加。这就是点积！

4. 从投影过程上看：(oldsymbol w)在(oldsymbol v)上投影，恰好也可以拆分成两个基向量在(oldsymbol v)投影的叠加。因此点积都是投影！

5. 如果(oldsymbol u)不是单位向量，再乘以其范数即可。这就是完整的点积：投影→相乘！

解释完毕！