树状数组

这是一种实用并且代码极短的高级数据结构。

能在O(lgｎ)内完成修改，和询问。解决了普通数组的询问长，前缀和的修改长的问题。

它提供两种操作：

• 将A[i]叫上D;
• 求出A[i]的前缀和。

那么怎么实现呢？

我们新增一个数组c[]，其中c[i]=A[i-2^k+1]+……+A[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。

那怎么求出2^k呢，我们就可以用lowbit(i)，lowbit(i)=i&(-i)；

首先是修改操作，将所有包含它的数都加上要加的数。

void add(int x){
    for (int i=x;i<=N;i+=lowbit(i)) c[i]++;
}

求和就是把它未包含的数加上。

long long sum(int x){
    long long Sum=0;
    for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) Sum+=c[i];
    return Sum;
}

这就是基本的树状数组了。

接下来是一些基本的求和模型。

1.改点求段：

　　修改操作：将A[x]的值加上v；

　　求和操作：求此时A[l..r]的和。

十分简单:

void add(int x){
    for (int i=x;i<=N;i+=lowbit(i)) c[i]++;
}
long long sum(int x){
    long long Sum=0;
    for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) Sum+=c[i];
    return Sum;
}

　　修改操作：add(x,v);

　　求和操作：sum(r)-sum(l-1);

s2.改段求点：

　　修改操作：将A[l..r]之间的全部元素值加上v；

　　求和操作：求此时A[x]的值。

这回就用差分法A[i]表示原意义一下的A[i]-A[i-1];

void add(int x){
    for (int i=x;i<=N;i+=lowbit(i)) c[i]++;
}
long long sum(int x){
    long long Sum=0;
    for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) Sum+=c[i];
    return Sum;
}

　　修改操作：add(l,v),add(r+1,-v)；

　　求和操作：sum(x);

3.改段求段：

　　修改操作：将A[l..r]之间的全部元素值加上v；

　　求和操作：求此时A[l..r]的和。

关于这种模型需要一个辅助数组：存（当前位置-1）*v的值。

因为Sum(1,x)在差分意义下是(Sigma(i<=x)(A[i]*(x-(i-1))))

做出A[i]*(i-1)的辅助数组就可以了。

void Add(ll *T,int x,ll v){
    for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) T[i]+=v; 
}
void Update(ll a,ll b,ll c){
    Add(T1,a,c); Add(T1,b+1,-c);
    Add(T2,a,(a-1)*c); Add(T2,b+1,b*(-c));
}
ll Sum_(ll *T,int x){
    ll ans=0;
    for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) ans+=T[i];
    return ans;
}
ll Sum(int a,int b){
    ll tot=(a-1)*(Sum_(T1,a-1))-Sum_(T2,a-1);
    ll tot_=(b)*(Sum_(T1,b))-Sum_(T2,b);
    return tot_-tot;
}

　　修改操作：模板内Update；

　　求和操作：模板内Sum；

还有二维树状数组的使用，

int sum(int x,int y)  
{  
    int Sum=0;  
    for(int i=x;i>0;i-=(i&(-i))) {  
        for(int j=y;j>0;j-=(j&(-j))) {  
            Sum+=c[i][j];  
        }  
    }  
    return Sum;  
}  
  
void add(int x,int y,int d)  
{  
    for(int i=x;i<=n;i+=(i&(-i))) {  
        for(int j=y;j<=n;j+=(j&(-j))) {  
            c[i][j]+=d;  
        }  
    }  
}  

 通过考试考挂的教训，我就在这重推，二维改段求段。A是差分意义下。

sum(x,y)=Sigma(i<=x)Sigma(j<=y)(A[i][i]*(x-(i-1))*(y-(j-1)))

　　　     =Sigma(i<=x)Sigma(j<=y)(A[i][j]*x*y-A[i][j]*x*(j-1)-A[i][j]*y*(i-1)+A[i][j]*x*y);

void add(int x,int y,int v_1,int v_2,int v_3,int v_4){
    for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        for (int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)) t_1[i][j]+=v_1,t_2[i][j]+=v_2,t_3[i][j]+=v_3,t_4[i][j]+=v_4;
} 
int sum(int x,int y){
    int Sum1=0,Sum2=0,Sum3=0,Sum4=0;
    for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        for (int j=y;j>0;j-=lowbit(j)) Sum1+=t_1[i][j],Sum2+=t_2[i][j],Sum3+=t_3[i][j],Sum4+=t_4[i][j];
    return Sum1*x*y-Sum2*x-Sum3*y+Sum4;
}

　　修改操作：

add(a,b,v,v*(b-1),v*(a-1),v*(a-1)*(b-1)); add(a,d+1,-v,(-v)*d,(-v)*(a-1),(-v)*d*(a-1));
add(c+1,b,-v,(-v)*(b-1),(-v)*c,(-v)*c*(b-1));add(c+1,d+1,v,v*d,v*c,v*d*c);

　　求和操作：

sum(c,d)-sum(a-1,d)-sum(c,b-1)+sum(a-1,b-1)

 均摊logn的清零。

struct Bit{
int ts,b[SZ],t[SZ]; void clr() {++ts;}
Bit() {ts=0; memset(t,0,sizeof t);}
void edt(int x,int y)
{
    for(;x<=n;x+=x&-x)
    {if(t[x]!=ts) t[x]=ts,b[x]=0; (b[x]+=y)%=MOD;}
}
int sum(int x)
{
    int s=0;
    for(;x>=1;x-=x&-x)
    {if(t[x]!=ts) t[x]=ts,b[x]=0; (s+=b[x])%=MOD;}
    return s;
}
}ba,bb;