红黑树-想说爱你不容易

前言：

　　记得在大一懵懵懂懂的时候就接触了红黑树的算法。但由于当时内功尚浅，无法将其内化，只是觉得它很神奇，是个好算法，设计它的人很牛！现今重拾起这个算法，不得不再次被它的精妙所折服！编写本文，是希望以鄙人的理解将红黑树算法的精髓向博客园的园友陈述一番，也希望对其有独特见解的朋友能不吝赐教。准备好了的话，我们就开始吧~

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Part I:BST

　　作为开始，我们得先谈谈二叉树（Binary Search Tree）。

1.假设存在一个如下简单的键值字符表：

Key Value

A 2

C 1

B 6

B 11

H 1

J 3

　　要求你按照读入顺序建立这样一棵二叉查找树，建好之后要求能够进行对于的查询操作。

源于二分查找的思想，二叉查找树有这样一个特点：

　　对于树上的任意一个结点，如果它有左右子结点的话，其结点大小必定大于其左子结点且小于其右子结点。

2.查找get(key)

由于单独建立一个二叉查找树起初不好分析，我们就假设现在有一棵已经构造好二叉查找树。我们仅需要思考如何在其上面进行查找操作。

根据二分查找的思想，我们可以按照下面步骤进行查找：

Step1:将需要查找的key与二叉查找树的当前根节点的key作比较，得到比较结果后进行下面的step2;

Step2:若查找的key比根节点的key小，则递归从根节点的左子树进行同样的查找key操作；若比根节点的key大，则递归地从根节点的右子树进行同样的查找key操作；

若，查找的key刚好等于当前根节点的key，则返回当前key对应的value，结束！

3.插入put(key,value)

假设现在已经有了一个二叉查找树，我们要插入一对键值（key-value）。源于查找过程的经验，我们知道插入操作其实近似于查找操作。因为，我们插入的时候同样是拿key跟当前根节点的key比较，之后再确定是往左走还是右走，或者是更新当前值（key=root.key时）。

 

Code:

package com.gdufe.binarysearchtree;

import java.io.File;
import java.util.Scanner;

public class BST<Key extends Comparable<Key>, Value> {

    Node root; // 维护根节点

    class Node { // 二叉树的结点
        Key key;
        Value value;
        Node left, right;

        public Node(Key key, Value value) { // 初始化结点
            this.key = key;
            this.value = value;
        }
    }

    public Value get(Key key) {
        return get(root, key);
    }

    //查找操作
    public Value get(Node x, Key key) {
        if (x == null)
            return null;
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0)
            return get(x.left, key);
        else if (cmp > 0)
            return get(x.right, key);
        else
            return x.value;
    }

    public void put(Key key, Value value) {
        root = put(root, key, value);
    }
    //插入操作
    public Node put(Node x, Key key, Value value) {
        if (x == null)
            return new Node(key, value);
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0)
            x.left = put(x.left, key, value);
        else if (cmp > 0)
            x.right = put(x.right, key, value);
        else
            x.value = value;
        return x;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        Scanner input = new Scanner(new File("data_BST.txt"));
        BST<String, Integer> bst = new BST<String, Integer>();
        while (input.hasNext()) {
            String key = input.next();
            int value = input.nextInt();
            bst.put(key, value);
        }
        System.out.println(bst.get("H"));
        System.out.println(bst.get("B"));
    }

}

输出结果：

1
11

 分析：

　　插入或查找时，有可能最坏情况树不断恶意生长（垂直生长），此时的时间复杂度为：O（N）,平均的时间复杂度为：O(lgN)

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Part II:RedBlackBST

1. 2-3树

在二叉树的基础之上，我们引入了平衡2-3树。简单地说，二叉树每个结点至多只能有2个子结点（称为“2结点”），而现在我们可以通过将2个结点“绑”在一起形成一个有3个子结点的“3结点”。见下图：

 

由于查找操作较简单，我们重点讨论它的插入操作。同样基于上面所给的数据，见图：

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 2.红黑二叉查找树（简称“红黑树”）

　　那么问题来了，我们该如何实现这样一棵2-3树呢？正常的思维当然是希望在原先的Node结构中进行重构，再构造一个嵌套的BIGNode。但巧妙的地方就在这里，我们可以以之前的二叉查找树为基础，把结点之间的链接分为“红链接”和“黑链接”。其中，红连接通过连接两个2结点组成3结点，黑连接是之前二叉查找树的普通连接。为了方便，我们不妨把3结点统一表示为一条左斜的红色链接。如图：

 

　　上面通过定义红黑树的规则实现我们等价的2-3树结构，于是红黑树也就有了下面等价的定义。

含有红黑链接并且满足下列条件的二叉查找树：

1)红链接均为左链接

2)没有任何结点同时和2条红链接相连

3)任意空链接到根节点路径上的黑链接数相同

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既然从上面的阐述中，我们得出 了“红黑树≈2-3树",我们我们紧接着用上面的数据构建我们的红黑树，见图：

 

　　其中，存在着3个关键操作：

左旋：当结点出现左子结点为黑，右子结点为红时，进行左旋转；

右旋：当结点出现左子结点以及左子结点的左结点均为红时，进行右旋转；

变色：当结点出现左右子结点均为红时，进行变色操作（2个子链接均变黑色，并将红链接向上传递！）

 具体，见下图：

Code:

package com.gdufe.binarysearchtree;

import java.io.File;
import java.util.Scanner;

public class RedBlackTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {

    Node root; // 维护根节点

    final static boolean RED = true;
    final static boolean BLACK = false;

    class Node { // 二叉树的结点
        Key key;
        Value value;
        boolean color;
        Node left, right;

        public Node(Key key, Value value, boolean color) { // 初始化结点
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.color = color;
        }
    }

    public Value get(Key key) {
        return get(root, key);
    }

    // 右旋
    public Node rotateRight(Node h) {
        Node x = h.left;
        h.left = x.right;
        x.right = h;
        x.color = h.color;
        h.color = RED;
        return x;
    }

    // 左旋
    public Node rotateLeft(Node h) {
        Node x = h.right;
        h.right = x.left;
        x.left = h;
        x.color = h.color;
        h.color = RED;
        return x;
    }

    // 变色处理
    public void flipColors(Node h) {
        h.left.color = BLACK;
        h.right.color = BLACK;
        h.color = RED;
    }
    public boolean isRed(Node x){
        if(x==null) return false;
        else return x.color;
    }
    public Value get(Node x, Key key) {
        if (x == null)
            return null;
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0)
            return get(x.left, key);
        else if (cmp > 0)
            return get(x.right, key);
        else
            return x.value;
    }

    public void put(Key key, Value value) {
        root = put(root, key, value);
        root.color = BLACK;
    }

    public Node put(Node x, Key key, Value value) {
        if (x == null)
            return new Node(key, value, RED); // 添加的结点链接为红色
        int cmp = key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0)
            x.left = put(x.left, key, value);
        else if (cmp > 0)
            x.right = put(x.right, key, value);
        else {
            x.value = value;
        }
        // 判断是否需要左旋，右旋，变色操作
        if (x != null) {
            if (!isRed(x.left) && isRed(x.right))
                x = rotateLeft(x); 
            if (isRed(x.left) && isRed(x.left.left))
                x = rotateRight(x);
            if (isRed(x.left ) && isRed(x.right))
                flipColors(x);
        }

        return x;
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        Scanner input = new Scanner(new File("data_BST.txt"));
        RedBlackTree<String, Integer> bst = new RedBlackTree<String, Integer>();
        while (input.hasNext()) {
            String key = input.next();
            int value = input.nextInt();
            bst.put(key, value);
        }
        System.out.println(bst.get("H"));
        System.out.println(bst.get("B"));
    }

}

输出结果：

1
11

分析：

　　有了上面3个关键操作之后，我们保证了树的平衡性，即树不会再恶意生长。插入N个结点后，树的高度为：O(lgN)~O(2*lgN) (思考一下？)。所以，我们得到插入和查找的整体时间复杂度均降为：O(lgN)。

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结语：

　　不得不承认，红黑树算法堪称算法研究领域的非凡之作。在现今的汪洋信息时代，存在着上亿的数据。但是，当我们用红黑树算法对其进行动态的增加和查找时，仅仅需要几十次操作即可完事儿，怎能不让人拍案叫绝！！