AT1761 square1001の通学経路 (square1001's School Road)

AT1761 square1001の通学経路 (square1001's School Road)

ATcoder
Luogu

問題文
square1001は、毎日歩いて中学校まで通っている。

彼は、左下の交差点 (1,1) に住んでおり、 右上の交差点 (W,H)にある学校まで行く。

ただし、次のような条件がある。

彼は時間短縮のために右か上にしか進まない。
彼はその日、K 個のマスに用事があった。
左下 が(Xi,Yi) で, 右上が(Xi+1,Yi+1) のマスである。
そのため、用事のあるマスそれぞれについて、その周りの交差点４つのうち少なくとも１つは通る必要があった。

それらの条件を満たす行き方は何通りあるか。 mod 1,000,000,007で求めよ。
入力例1

4 4 1
2 2

出力例1

18

(1,1)→(1,2)→(1,3)→(1,4)→(2,4)→(3,4)→(4,4)という行き方と、

(1,1)→(2,1)→(3,1)→(4,1)→(4,2)→(4,3)→(4,4)という行き方はできない。

よって, 20−2=18を出力する。

※図の左上数が抜けていてすみません。

题意翻译

square1001每天步行到学校。

他住在左下方的十字路口(1，1)，去位于右上角(W，H)的学校。

但是，有一些条件。

他为了缩短时间只能往右或上走。 那天，他找了有K个格子，左下角坐标分别为(Xi1，Yi1)，(Xi2，Yi2)，(Xi3，Yi3) ......(XiK，YiK)

而且，对于这种的格子，其周围的4个格子（指周围四个格子中四个顶点坐标中的一个）中square1001至少需要经过1个。

满足这些条件的路径有多少条？

答案mod 1,000,000,007后输出 。

怎么做呢？

这种题直接考虑DP计数就好了。
有一个比较类似的题建议做一下。
CF559C Gerald and Giant Chess
这道题的转移：对于每一个点，可以直接由它的左下加右下转移过来。至于限制条件怎么走,我们发现对于每一个方块，必行的两个点的横坐标加纵坐标是一定的，因此可以维护一个数组，当且仅当它与地图上记录的点的信息对应时进行转移。

//记录点的信息
++mp[x + 1][y];++mp[x][y + 1];
//对每个横纵坐标的合维护出现次数
++cnt[x + y + 1];
//转移时进行判断
cnt[i + j] == mp[i][j]

拿样例进行说明，例如在（1,4）点时（是非法状态不能转移），由于cnt[5] = 1,mp[1][4] = 0,不能进行转移。由此保证路径一定经过必过的点。
这个是我看了snow39的代码发现的好技巧。

代码

#include <bits/stdc++.h>
namespace fdata
{
inline char nextchar()
{
    static const int BS = 1 << 21;
    static char buf[BS], *st, *ed;
    if (st == ed)
        ed = buf + fread(st = buf, 1, BS, stdin);
    return st == ed ? -1 : *st++;
}
#ifdef lky233
#define nextchar getchar
#endif
template <typename Y>
inline void poread(Y &ret)
{
    ret = 0;
    char ch;
    while (!isdigit(ch = nextchar()))
        ;
    do
        ret = ret * 10 + ch - '0';
    while (isdigit(ch = nextchar()));
}
#undef nextcar
} // namespace fdata
using fdata::poread;
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
const int MOD = 1e9 + 7;
int f[MAXN][MAXN];
int mp[MAXN][MAXN];
int cnt[MAXN];
int h, w, k;
int main()
{
    poread(h), poread(w), poread(k);
    for (register int i = 1, x, y; i <= k; ++i)
    {
        poread(x), poread(y);
        ++mp[x + 1][y];
        ++mp[x][y + 1];
        ++cnt[x + y + 1];
    }
    f[1][1] = 1;
    for (register int i = 1; i <= h; ++i)
    {
        for (register int j = 1; j <= w; ++j)
        {
            if (i != 1 && cnt[i + j] == mp[i][j])
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j]) % MOD;
            if (j != 1 && cnt[i + j] == mp[i][j])
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j - 1]) % MOD;
        }
    }
    cout << f[h][w] << endl;
}

我在看的时候看到了一份python代码，于是搬过来了。
来源提交记录

from collections import defaultdict,deque
import sys,heapq,bisect,math,itertools,string,queue,datetime,random
sys.setrecursionlimit(10**8)
INF = float('inf')
mod = 10**9+7
eps = 10**-7
def inpl(): return list(map(int, input().split()))
def inpls(): return list(input().split())
 
H,W,K = inpl()
XYs = [inpl() for _ in range(K)]
XYs.sort()
 
MAX = H+W
fac = [1]*(MAX+1)
for i in range(1,MAX+1):
	fac[i] = (fac[i-1]*i)%mod
 
gyakugen = [1]*(MAX+1)
gyakugen[MAX] = pow(fac[MAX],mod-2,mod)
for i in range(MAX,0,-1):
	gyakugen[i-1] = (gyakugen[i]*i)%mod
 
def Comb (n,k):#nCk
	return (fac[n]*gyakugen[k]*gyakugen[n-k])%mod
 
def calc(xys,xyt):
    dx = xyt[0] - xys[0]
    dy = xyt[1] - xys[1]
    return Comb(dx+dy,dx)
 
def LU(xy):
    x,y = xy
    return([x,y+1])
 
def RD(xy):
    x,y = xy
    return([x+1,y])
 
tmp0 = calc([1,1],LU(XYs[0]))
tmp1 = calc([1,1],RD(XYs[0]))
for i in range(1,K):
    tmp0ed,tmp1ed = tmp0,tmp1
    tmp0 = tmp0ed * calc(LU(XYs[i-1]),LU(XYs[i])) + tmp1ed * calc(RD(XYs[i-1]),LU(XYs[i]))
    tmp1 = tmp0ed * calc(LU(XYs[i-1]),RD(XYs[i])) + tmp1ed * calc(RD(XYs[i-1]),RD(XYs[i]))
    tmp0 %= mod
    tmp1 %= mod
 
ans = tmp0 * calc(LU(XYs[K-1]),[W,H]) + tmp1 * calc(RD(XYs[K-1]),[W,H])
print(ans%mod)