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  • 算术基本定理(维基百科)

    算术基本定理,又称为正整数的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数,若不是本身就是质数,就是可写为2个以上的质数的,而且这些质因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。例如:{displaystyle 6936=2^{3} imes 3 imes 17^{2}}6936=2^{3}	imes 3	imes 17^{2},{displaystyle 1200=2^{4} imes 3 imes 5^{2}}1200=2^{4}	imes 3	imes 5^{2}

    算术基本定理的内容由两部分构成:

    • 分解的存在性:
    • 分解的唯一性,即若不考虑排列的顺序,正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

    算术基本定理是初等数论中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

    证明[编辑]

    算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说,欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题:若质数{displaystyle p|ab}p|ab,则不是 {displaystyle p|a}p|a,就是{displaystyle p|b}p|b。然而,在欧几里得的时代,并没有发展出幂运算和指数的写法,甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的,所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

    必然性[编辑]

    反证法:假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积,把最小的那个称为n。

    自然数可以根据其可除性(是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积)分成3类:质数、合数和1。首先,按照定义,{displaystyle n}n大于1。其次,{displaystyle n}n不是质数,因为质数{displaystyle p}p可以写成质数乘积:{displaystyle p=p}{displaystyle p=p},这与假设不相符合。因此{displaystyle n}n只能是合数,但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设{displaystyle n=a imes b}n=a	imes b,其中{displaystyle a}a和{displaystyle b}b都是介于1和{displaystyle n}n之间的自然数,因此,按照{displaystyle n}n的定义,{displaystyle a}a和{displaystyle b}b都可以写成质数的乘积。从而{displaystyle n=a imes b}n=a	imes b 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

    唯一性[编辑]

    引理:若质数{displaystyle p|ab}p|ab,则不是 {displaystyle p|a}p|a,就是{displaystyle p|b}p|b

    引理的证明:若{displaystyle p|a}p|a 则证明完毕。若{displaystyle p mid a}p
mid a,那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理,存在{displaystyle (m,n)}(m,n) 使得{displaystyle ma+np=1}ma+np=1。于是{displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp}b=b(ma+np)=abm+bnp。 由于{displaystyle p|ab}p|ab,上式右边两项都可以被p整除。所以{displaystyle p|b}p|b

    再用反证法:假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积,那么假设{displaystyle n}n是最小的一个。

    首先{displaystyle n}n不是质数。将{displaystyle n}n用两种方法写出:{displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}cdots q_{s}}n=p_{1}p_{2}p_{3}cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}cdots q_{s} 。根据引理,质数{displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}cdots q_{s}}p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}cdots q_{s} ,所以{displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}cdots q_{s}}q_{1},q_{2},q_{3}cdots q_{s} 中有一个能被{displaystyle p_{1}}p_{1}整除,不妨设为{displaystyle q_{1}}q_{1}。但{displaystyle q_{1}}q_{1}也是质数,因此{displaystyle q_{1}=p_{1}}q_{1}=p_{1} 。所以,比{displaystyle n}n小的正整数{displaystyle n'=p_{2}p_{3}cdots p_{r}}n'=p_{2}p_{3}cdots p_{r}也可以写成{displaystyle q_{2}q_{3}cdots q_{s}}q_{2}q_{3}cdots q_{s} 。这与{displaystyle n}n 的最小性矛盾!

    因此唯一性得证。

    相关[编辑]

    在一般的数域中,并不存在相应的定理;事实上,在虚二次域 {displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {-D}})quad (Din mathbb {N} )}{mathbb  {Q}}({sqrt  {-D}})quad (Din {mathbb  {N}}) 之中,只有少数几个能满足,最大的一个 {displaystyle D}D 是 {displaystyle D=163}D=163。例如,{displaystyle 6}6可以以两种方式在 {displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-5}}]}{mathbb  {Z}}[{sqrt  {-5}}] 中表成整数乘积:{displaystyle 2 imes 3}2	imes 3 和 {displaystyle (1+{sqrt {-5}})(1-{sqrt {-5}})}(1+{sqrt  {-5}})(1-{sqrt  {-5}})。同样的,在分圆整数中一般也不存在唯一分解性,而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

    欧几里得在普通整数 {displaystyle mathbb {Z} }mathbb {Z} 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积,高斯则在复整数 {displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-1}}]}{mathbb  {Z}}[{sqrt  {-1}}] 中得出并证明,只要不计四个可逆元素 {displaystyle (pm 1,pm i)}(pm 1,pm i) 之作用,那么这个唯一分解定理在 {displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-1}}]}{mathbb  {Z}}[{sqrt  {-1}}] 也成立。高斯还指出,包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

    高斯类数[编辑]

    对于二次方程:{displaystyle ax^{2}+bx+c=0qquad left(a eq 0 ight)}ax^{2}+bx+c=0qquad left(a
eq 0
ight),它的根可以表示为: {displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac }}}{2a}}}{displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac }}}{2a}}}

    因为负数不能开平方,{displaystyle b^{2}-4ac}b^{{2}}-4ac的符号就很重要,如果为正,有两个根;如果为0,只有一个根;如果为负,没有实根。欧拉的素数公式:{displaystyle f(x)=x^{2}+x+41qquad left(a eq 0 ight)}f(x)=x^{2}+x+41qquad left(a
eq 0
ight) {displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163}{displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163} 两个复数解为: {displaystyle x_{1,2}={frac {-1pm {sqrt {163}}i}{2}}}{displaystyle x_{1,2}={frac {-1pm {sqrt {163}}i}{2}}}

    {displaystyle a+b{sqrt[{}]{-d}}}a+b{sqrt[ {}]{-d}}哪个{displaystyle d}d值可以得到唯一分解定理? {displaystyle d=1,2,3}{displaystyle d=1,2,3}皆可得到定理,但当{displaystyle d=5}{displaystyle d=5}时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解(分解至不可分约的情形)。 {displaystyle 6=2 imes 3}{displaystyle 6=2	imes 3};{displaystyle 6=(1+{sqrt {-5}})(1-{sqrt {-5}})}{displaystyle 6=(1+{sqrt {-5}})(1-{sqrt {-5}})}。在高斯时代,已知有9个{displaystyle d}d使得{displaystyle a+b{sqrt[{}]{-d}}}a+b{sqrt[ {}]{-d}}所产生的数有唯一因子分解({displaystyle a}a,{displaystyle b}b如上面指出那样取值)。 {displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}{displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}高斯认为{displaystyle d}d的数量不会超过10个,但是没有人能够证明。 1952年,业余数学家,退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳(Kurt Heegner)发表了他的证明,声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理:麻省理工学院的斯塔克(Harold Stark)和剑桥大学的阿兰贝克(AlanBaker)独立用不同方法证明了第10个{displaystyle d}d值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作,发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的希格内尔,上述的9个数被称为黑格纳数,一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Staceyacm/p/10782090.html
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