「高等数学学习笔记 DAY20」

函数的连续性与间断点

函数的间断点

设函数 (f(x)) 在点 (x_0) 的某去心邻域内有定义.在此前提下,如果函数 (f(x)) 有下列三种情形之一:

1. 在 (x=x_0) 没有定义;
2. 虽然在 (x=x_0) 有定义,但 (lim_{x o x_0}f(x)) 不存在;
3. 虽然在 (x=x_0) 有定义,且 (lim_{x o x_0}f(x)) 存在,但 (lim_{x o x_0}f(x) ot=f(x_0)),

那么函数 (f(x)) 在点 (x_0) 为不连续,而 (x_0) 称为函数 (f(x)) 的不连续点或间断点.

下面有函数间断点的几种常见类型:

无穷间断点,震荡间断点,可去间断点,跳跃间断点.

通常把间断点分成两类:如果 (x_0) 是函数 (f(x)) 的间断点,但左极限 (f(x_0^-)) 和 右极限 (f(x_0^+)) 都存在,那么 (x_0) 称为函数 (f(x)) 的第一类间断点,其他的称为第二类间断点.第一类间断点中左右极限相等这称为可去间断点,不相等这称为跳跃间断点,无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.