首先使用 www.wolframalpha.com 发现答案形如 (frac{a^nb imes F_n(c)}{n! imes (c+1)^{n+1}})，其中 (F_n(c)) 是关于 (c) 的多项式。
作换元 (t = ax + d) 不难发现上述事实，且还有 (frac{1}{e^t + c} = sum_n frac{F_n(c)}{n! imes (c+1)^{n+1}}t^n)。
展开得到：
[egin{aligned}
frac{1}{e^t + c}
&= frac{1}{c}sum_i (-frac{e^{t}}{c})^i \
&= frac{1}{c}sum_i (-frac{1}{c})^isum_nfrac{(it)^n}{n!} \
&= frac{1}{c}sum_nfrac{t^n}{n!}sum_i (-frac{1}{c})^i imes i^n
end{aligned}
]
考虑经典问题：求 (S = sum_i a^ii^n)。
一般来说是转下降幂 (x^n = sum_j j!{nrace j}inom{x}{j})，最后也能推出来。
考虑利用如下恒等式：
[egin{aligned}
x^n
&= sum_ileftlangleegin{matrix}n\iend{matrix}
ight
angle inom{x + i}{n} \
end{aligned}
]
其中 (leftlangleegin{matrix}n\iend{matrix} ight angle) 是欧拉数。
代入可以得到：
[egin{aligned}
sum_i a^ii^n
&= sum_i a^isum_jleftlangleegin{matrix}n\jend{matrix}
ight
angle inom{i + j}{n} \
&= sum_jleftlangleegin{matrix}n\jend{matrix}
ight
anglesum_i a^i inom{i + j}{n} \
&= sum_jleftlangleegin{matrix}n\jend{matrix}
ight
anglefrac{a^{n-j}}{(1-a)^{n+1}} \
end{aligned}
]
回到题目，我们想求 (sum_i (-frac{1}{c})^i imes i^n)：
[egin{aligned}
sum_i (-frac{1}{c})^i imes i^n
&= sum_j leftlangleegin{matrix}n\jend{matrix}
ight
angle frac{(-1/c)^{n-j}}{(1+1/c)^{n+1}} \
&= frac{sum_j(-1)^{n-j}leftlangleegin{matrix}n\jend{matrix}
ight
angle c^{j+1}}{(c+1)^{n+1}} \
end{aligned}
]
代入原式整合得到 (F_n(c) = sum_j(-1)^{n-j}leftlangleegin{matrix}n\jend{matrix} ight angle c^{j})。
求一行欧拉数可以利用 (leftlangleegin{matrix}n\mend{matrix} ight angle = sum_k inom{n + 1}{k}(m + 1 - k)^n(-1)^k) 做卷积。
最后多点求值即可。