审美课
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问题描述
《审美的历程》课上有n位学生，帅老师展示了m幅画，其中有些是梵高的作品，另外的都出自五岁小朋友之手。老师请同学们分辨哪些画的作者是梵高，但是老师自己并没有答案，因为这些画看上去都像是小朋友画的……老师只想知道，有多少对同学给出的答案完全相反，这样他就可以用这个数据去揭穿披着皇帝新衣的抽象艺术了（支持帅老师^_^）。
答案完全相反是指对每一幅画的判断都相反。
答案完全相反是指对每一幅画的判断都相反。
输入格式
第一行两个数n和m，表示学生数和图画数；
接下来是一个n*m的01矩阵A：
如果aij=0，表示学生i觉得第j幅画是小朋友画的；
如果aij=1，表示学生i觉得第j幅画是梵高画的。
接下来是一个n*m的01矩阵A：
如果aij=0，表示学生i觉得第j幅画是小朋友画的；
如果aij=1，表示学生i觉得第j幅画是梵高画的。
输出格式
输出一个数ans：表示有多少对同学的答案完全相反。
样例输入
3 2
1 0
0 1
1 0
1 0
0 1
1 0
样例输出
2
样例说明
同学1和同学2的答案完全相反；
同学2和同学3的答案完全相反；
所以答案是2。
同学2和同学3的答案完全相反；
所以答案是2。
数据规模和约定
对于50%的数据：n<=1000；
对于80%的数据：n<=10000；
对于100%的数据：n<=50000，m<=20。
对于80%的数据：n<=10000；
对于100%的数据：n<=50000，m<=20。
使用暴力法只得了70分，最后三个测试用力不通过，需要使用二进制存储的思路：
将每个学生的答案用数组a[i]以二进制的形式存储(二进制011对应的是3)。则答案相同的学生在数组a[i]存的值是相同的。
数组res[ a[i] ]用于存储每种答案的人数。例如，假设res[3]=10，即有10个人答案相同且答案都为3 (十进制3对应的二进制为011)。
按行遍历，按位取反，与取反后的答案相同的，即为题目要求的完全相反的答案。
最后sum/2是因为重复计算了，除以2之后才是“有多少对同学”。
注意：
乍一看，取反不是“~”吗，为什么用的异或运算符“^”？
异或运算符的规则是：相反为1，相同为0，即:0^0=0, 1^0=1, 0^1=1, 1^1=0
所以无论1还是0，与1异或就实现了取反操作。故可以实现按位取反
源代码：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 int a[50000]; //最大输入50000个学生
5 int res[1048580]={0}; //一共20副画图数，最多有2的20次方来存储 ，类似于筛选法
6 int sum=0; //计算最终结果
7
8 int main()
9 {
10 //freopen("input.txt","r",stdin) ;
11 int n,m;
12 cin>>n>>m;
13 for(int i=0;i<n;i++)
14 {
15 for(int j=0;j<m;j++)
16 {
17 int temp;
18 cin>>temp;
19 a[i]=(a[i]<<1)+temp;
20 }
21 res[a[i]]++;
22 }
23
24 int max=(1<<m)-1; //构造m位全为1的二进制，如3位，向左移动3位就为8，8-1=7的二进制为111 ，刚好为三位
25 for(int i=0;i<n;i++)
26 {
27 int tmp=a[i]^max;
28 sum+=res[tmp];
29 }
30
31 cout<<sum/2; // 循环时候每个数d
32 //fclose(stdin);
33 return 0;
34 }
思路2：异或运算和map
用二进制表示每位同学的回答。（m<=20;2^20 在int的范围内）。
相反的答案用二进制与m个1,1,1.....1（即2^m-1）的数maxn取异或即可。（如 01 == 1 ，10 == 2，2^3 == 1（异或），1^3 == 2 ）
因为map默认是按key值从小到大排序的，则可以直接在遍历map中取0~maxn/2即可。
设m个1,1,1.....1（即2^m-1）的数为maxn，mid = maxn/2; 通过枚举你会发现 maxn^x = maxn-x = y (x,y属于[0,maxn]），(maxn与x逐位取异或 实际就是逐位做减法，因为maxn全为1（1>={0,1}），不存在减法借位的),如（111-010 = 101 = 111^010）,则[0,mid]的一个数x与maxn取异的值y一定在(mid,maxn]中。如(maxn = 7, 7^0=7 - 0 = 7、7^1=7-1=6、7^2=7-2=5).
如果你遍历了map中的[0~mid]那么后面的就不需要再遍历了，因为后面map中能与[0~mid]匹配的值肯定已经被匹配过了。此步骤可要可不要，不会影响实际的通过。
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3
4 int main()
5 {
6 //freopen("input.txt","r",stdin);
7 ios::sync_with_stdio(false);
8
9 map<int,int> ans;
10
11 int n,m;
12 cin>>n>>m;
13
14 for(int i=0;i<n;i++)
15 {
16 int num=0;
17 int x;
18 for(int j=0;j<m;j++)
19 {
20 cin>>x;
21 num=(num<<1)+x; //将输入的一行0或者1转换为二进制数 (十进制表示)
22 }
23 ans[num]++; //将每个对应的二进制数key的value+1，value默认为0
24 }
25
26 int sum=0,maxn=(1<<m)-1,mid=maxn/2;
27
28 for(map<int,int>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();++it)
29 {
30 int x=it->first;
31 if(x>mid) //map默认是按key值从小到大排序的，则可以直接在遍历map中取0~maxn/2即可，[0,mid]的一个数x与maxn取异的值y一定在(mid,maxn]中
32 {
33 break;
34 }
35 int temp=x^maxn; ////构造m位全为1的二进制，如3位，向左移动3位就为8，8-1=7的二进制为111 ，刚好为三位
36 sum+=ans[temp]*it->second; //需要将当前的相同的个数和与他取反的数的个数相乘才是有多少个
37 }
38 cout<<sum;
39
40 //fclose(stdin);
41 return 0;
42 }