蓝桥杯(算法训练)

审美课  

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问题描述

　　《审美的历程》课上有n位学生，帅老师展示了m幅画，其中有些是梵高的作品，另外的都出自五岁小朋友之手。老师请同学们分辨哪些画的作者是梵高，但是老师自己并没有答案，因为这些画看上去都像是小朋友画的……老师只想知道，有多少对同学给出的答案完全相反，这样他就可以用这个数据去揭穿披着皇帝新衣的抽象艺术了（支持帅老师^_^）。
　　答案完全相反是指对每一幅画的判断都相反。

输入格式

　　第一行两个数n和m，表示学生数和图画数；
　　接下来是一个n*m的01矩阵A：
　　如果aij=0，表示学生i觉得第j幅画是小朋友画的；
　　如果aij=1，表示学生i觉得第j幅画是梵高画的。

输出格式

　　输出一个数ans：表示有多少对同学的答案完全相反。

样例输入

3 2
1 0
0 1
1 0

样例输出

2

样例说明

　　同学1和同学2的答案完全相反；
　　同学2和同学3的答案完全相反；
　　所以答案是2。

数据规模和约定

　　对于50%的数据：n<=1000；
　　对于80%的数据：n<=10000；
　　对于100%的数据：n<=50000，m<=20。

 

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使用暴力法只得了70分，最后三个测试用力不通过，需要使用二进制存储的思路：

 

将每个学生的答案用数组a[i]以二进制的形式存储(二进制011对应的是3)。则答案相同的学生在数组a[i]存的值是相同的。

数组res[ a[i] ]用于存储每种答案的人数。例如，假设res[3]=10，即有10个人答案相同且答案都为3 (十进制3对应的二进制为011)。

按行遍历，按位取反，与取反后的答案相同的，即为题目要求的完全相反的答案。

最后sum/2是因为重复计算了，除以2之后才是“有多少对同学”。

 

注意：

乍一看，取反不是“~”吗，为什么用的异或运算符“^”？

异或运算符的规则是：相反为1，相同为0，即:0^0=0, 1^0=1, 0^1=1, 1^1=0

所以无论1还是0，与1异或就实现了取反操作。故可以实现按位取反

 

源代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[50000];    //最大输入50000个学生
int res[1048580]={0};    //一共20副画图数，最多有2的20次方来存储 ，类似于筛选法 
int sum=0;    //计算最终结果 

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin) ;
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            int temp;
            cin>>temp;
            a[i]=(a[i]<<1)+temp; 
        }
        res[a[i]]++;
    }
    
    int max=(1<<m)-1;    //构造m位全为1的二进制，如3位，向左移动3位就为8，8-1=7的二进制为111 ，刚好为三位 
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int tmp=a[i]^max; 
        sum+=res[tmp];
    } 
    
    cout<<sum/2;    //    循环时候每个数d 
    //fclose(stdin);
    return 0;
} 

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思路2：异或运算和map

用二进制表示每位同学的回答。（m<=20;2^20 在int的范围内）。

相反的答案用二进制与m个1,1,1.....1（即2^m-1）的数maxn取异或即可。（如 01 == 1 ，10 == 2，2^3 == 1（异或），1^3 == 2 ）

因为map默认是按key值从小到大排序的，则可以直接在遍历map中取0~maxn/2即可。

设m个1,1,1.....1（即2^m-1）的数为maxn，mid = maxn/2; 通过枚举你会发现 maxn^x = maxn-x = y (x,y属于[0,maxn]），(maxn与x逐位取异或 实际就是逐位做减法，因为maxn全为1（1>={0,1}），不存在减法借位的),如（111-010 = 101 = 111^010）,则[0,mid]的一个数x与maxn取异的值y一定在(mid,maxn]中。如(maxn = 7, 7^0=7 - 0 = 7、7^1=7-1=6、7^2=7-2=5).

如果你遍历了map中的[0~mid]那么后面的就不需要再遍历了，因为后面map中能与[0~mid]匹配的值肯定已经被匹配过了。此步骤可要可不要，不会影响实际的通过。

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    
    map<int,int> ans;
    
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int num=0;
        int x;
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            cin>>x;
            num=(num<<1)+x;    //将输入的一行0或者1转换为二进制数 (十进制表示)
        }
        ans[num]++;     //将每个对应的二进制数key的value+1，value默认为0 
    } 
    
    int sum=0,maxn=(1<<m)-1,mid=maxn/2; 
    
    for(map<int,int>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();++it)
    {
        int x=it->first;
        if(x>mid)    //map默认是按key值从小到大排序的，则可以直接在遍历map中取0~maxn/2即可，[0,mid]的一个数x与maxn取异的值y一定在(mid,maxn]中 
        {
            break;
        }
        int temp=x^maxn;    ////构造m位全为1的二进制，如3位，向左移动3位就为8，8-1=7的二进制为111 ，刚好为三位 
        sum+=ans[temp]*it->second;    //需要将当前的相同的个数和与他取反的数的个数相乘才是有多少个 
    }
    cout<<sum;
    
    //fclose(stdin);
    return 0;
}