生成函数

• 狄利克雷生成函数

  • 定义

    对于一个数论函数，设在 (i) 处的点值为 (f_i)，则定义它的狄利克雷生成函数DGF（Dirichlet Generating Function）为 (F(x)=sumlimits_{i=1}^{+infty}frac{f_i}{i^x})。

    根据定义可以知道，若一个DGF为 (F(x))，则原数论函数点积 (Id) 的DGF为 (F(x-1))。

    若存在两个狄利克雷生成函数 (F,G)，其乘积为（设 (h = f *g)）：

    [(F imes G)(x)=sumlimits_{i=1}^{+infty}frac{sumlimits_{d|i}f(d) imes g(i/d)}{i^x}=H(x) ]

    发现两个函数的DGF的乘积恰好等于其狄利克雷卷积的DGF。

    （感觉最大的用处就是利用上面这个性质，杜教筛的时候不用凑了）。

    定义黎曼Zeta函数为 (zeta(x)=sumlimits_{i=1}^{+infty}frac{1}{i^x})

  • 常见函数的DGF

    1. 单位元函数的DGF显然 (1)

    2. 恒等函数 (I) 的DGF为 (zeta(x))

    3. 莫比乌斯函数 (mu) 的DGF：

       [prod_{pin prime}(1- frac{1}{p^x})=frac 1{prod_{pin prime}frac 1 {1-p^{-x}}}=frac1 {zeta(x)} ]

    4. 仅在 (k) 次方处值为 (1) 的函数的DGF为 (zeta(kx))。

    5. 幂函数 (Id_k) 的DGF为：

    [prod_{pin prime}sumlimits_{i=0}^{+infty}frac{p^{ik}}{p^{ix}}=prod_{pin prime}frac 1 {1-p^{k-x}}=zeta(x-k) ]
    6. 欧拉函数 (varphi) 的DGF为：
    [ prod_{pin prime}sumlimits_{i=0}^{+infty} frac {p^i-p^{i-1}}{p^{ix}}=prod_{pin prime}frac{1-p^{-x}}{1-p^{1-x}}=frac{zeta(x-1)}{zeta(x)} ]
    7. 定义刘维尔函数为 (lambda(x)=(-1)^{Omega(x)})。其中 (Omega(x)) 表示 (x) 的质因子个数（可重复）。刘维尔函数的DGF为：
       [prod_{pin prime} sumlimits_{i=0}^{+infty}frac{(-1)^i}{p^{ix}}=prod_{pin prime}frac{1}{1+p^{-x}}=frac{zeta(2x)}{zeta(x)} ]

  （以上均摘自Binary_Search_Tree的博客，有删改，原文链接）

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• 例题：

  1. CF891E Lust