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486. 预测赢家
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题目描述
给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家 1 从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家 2 继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家 1 拿，…… 。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。
给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。
示例 1：
输入：[1, 5, 2]
输出：False
解释：一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 False 。
示例 2：
输入：[1, 5, 233, 7]
输出：True
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家 1 可以成为赢家。
提示：
1 <= 给定的数组长度 <= 20.
数组里所有分数都为非负数且不会大于 10000000 。
如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家 1 仍为赢家。
解题思路
先理解递归再去理解动态规划
1.递归
2.动态规划
可以通过简单的例子[1,5]、[1,2,5]对动态规划进行理解
DP动态规划是从下往上，填表的顺序也能反映出来。
解释1.1
对于偶数个数字的数组，玩家1一定获胜。因为如果玩家1选择拿法A，玩家2选择拿法B，玩家1输了。则玩家1换一种拿法选择拿法B，因为玩家1是先手，所以玩家1一定可以获胜。
- 对于只有一个数字的子数组,即
i=j，dp[i，i] = num[i]，因为玩家1先手拿了这一个分数，玩家2就没得拿了，所以是最优拿法。 - 对于两个数字的子数组,即
j-i=1，dp[i，j]=abs(num[i]-num[j]),玩家1先手拿两个数中大的一个，所以玩家1一定比玩家2多两个数字差的绝对值，为最优拿法。 - 对于j-i>1的子数组，如果玩家1先手拿了i，则玩家1手里有num[i]分，则玩家2一定会按照
[i+1..j]这个子数组中的最优拿法去拿，于是玩家2此时手里相当于有dp[i+1，j]分，于是玩家1比玩家2多num[i]-dp[i+1，j]分。如果玩家1先手拿了j，则玩家1手里有num[j]分，则玩家2一定会按照[i..j-1]这个子数组中的最优拿法去拿，于是玩家2此时手里相当于有dp[i，j-1]分，于是玩家1比玩家2多num[j]-dp[i，j-1]分。数组的填充方向是从下往上，从左到右。
解释1.2
甲乙比赛，甲先手面对区间[i...j]时，dp[i][j]表示甲对乙的净胜分。
最终求的就是，甲先手面对区间[0...n-1]时，甲对乙的净胜分dp[0][n-1]是否>=0。
甲先手面对区间[i...j]时，
- 如果甲拿
nums[i]，那么变成乙先手面对区间[i+1...j]，这段区间内乙对甲的净胜分为dp[i+1][j]；那么甲对乙的净胜分就应该是nums[i] - dp[i+1][j]。 - 如果甲拿
nums[j]，同理可得甲对乙的净胜分为是nums[j] - dp[i][j-1]。
以上两种情况二者取大即可。
综上所述，状态转移方程如下：
状态转移方程：dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1])
解释1.3
-
初始化时，dp[i，i] =nums[i]; 意味着如果只有一个nums[i]可以拿，先手玩家拿走了，nums[i] 也就是多出来的分数
-
dp[i，j]表示先手玩家从nums[i]拿到nums[j]时，比后手玩家多的最大分数
-
对于dp[i，j]来说，先手玩家有两种拿法，一种是拿开头的数，一种是拿结尾的数
-
如果先拿了nums[i]，也就是意味着先手玩家目前的分数是nums[i]+后手玩家获得的最大分数的相反值，也就是
dp[i，j] = nums[i]+（-dp[i+1，j]）这里的dp[i+1，j]表示是后手玩家比先手玩家多的最大分数， -
同理如果先拿了nums[j]，也就是意味着先手玩家目前的分数是nums[j]+后手玩家获得的最大分数的相反值，也就是dp[i][j] = nums[j]+（-dp[i，j-1]）这里的dp[i，j-1]表示是后手玩家比先手玩家多的最大分数
-
而每一步，先手玩家都想拿到最大的分数，最后才有机会赢，所以最终的转移方程是：dp[i][j] =max{nums[i]+（-dp[i+1，j]）, nums[j]+（-dp[i，j-1]）}
-
最后要求的值时dp[0，n-1]也就是dp的右上角的数，判断这个数是否大于0，大于0意味着先手玩家比后手玩家多，会赢
写出状态转移方程之后该如何填表呢？
AC代码
public class Solution {
// 状态转移方程：dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1])
public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
int len = nums.length;
int[][] dp = new int[len][len];
// dp[i][j]：作为先手，在区间 nums[i..j] 里进行选择可以获得的相对分数
for (int i = 0; i < len; i++) {
dp[i][i] = nums[i];
}
for (int j = 1; j < len; j++) {
for (int i = j - 1; i >= 0; i--) {
dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
}
}
return dp[0][len - 1] >= 0;
}
}