[SCOI2010] 幸运数字

题意：

定义幸运数为仅由数字6,8组成的数。

给定a,b，求$[a,b]$范围内有多少个幸运数的倍数。

$a,bleq 10^{10}$。

题解：

首先暴力求一下幸运数，最多只有2000个左右。

然后容斥，但是发现复杂度是$2^{2000}$，希望不大。

我们考虑dfs式容斥，并添加如下三个剪枝：

1. 对于两个幸运数x,y，如果y是x的倍数，那么去掉y。
2. 对于当前的lcm，如果其超出上界，那么返回0。
3. 将幸运数从大到小排序，使（2）更容易满足。

复杂度$O(能过)$。

套路：

• 形如$2^{n}$枚举复杂度过高$ ightarrow$改写成dfs并考虑剪枝。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define maxm 500005
#define inf 0x7fffffff
#define ll unsigned long long
#define rint register ll
#define debug(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl
#define fgx cerr<<"--------------"<<endl
#define dgx cerr<<"=============="<<endl

using namespace std;
ll dig[maxn],A[maxn];

inline ll read(){
    ll x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    return x*f;
}

inline ll gcd(ll a,ll b){return (b==0)?a:gcd(b,a%b);}
inline ll dfs(ll now,ll p,ll lcm,ll mx,ll end){
    if(lcm>mx) return 0;
    if(now==end+1) return (lcm==1)?0:p*(mx/lcm);
    ll nlcm=A[now]*lcm/gcd(A[now],lcm);
    return dfs(now+1,p,lcm,mx,end)+dfs(now+1,p*(-1),nlcm,mx,end);
}

inline bool cmp(ll a,ll b){return a>b;}
inline ll solve(ll n){
    ll x=n,tot=0;
    while(x) dig[++dig[0]]=x%10,x/=10;
    for(ll i=1;i<=dig[0];i++){
        for(ll j=0;j<(1ll<<i);j++){
            ll num=0,w=1;
            for(ll k=0;k<i;k++,w=w*10){
                if(j&(1ll<<k)) num+=w*8;
                else num+=w*6;
            }    
            if(num<=n) A[++tot]=num;
        }
    }
    for(ll i=1;i<=tot;i++)
        for(ll j=1;j<=tot;j++){
            if(A[j]==0 || A[i]==A[j]) continue;
            if(A[i]%A[j]==0){A[i]=0;break;}
        }
    sort(A+1,A+1+tot,cmp);
    while(A[tot]==0 && tot>=1) tot--;
    return dfs(1,-1,1,n,tot);
}

int main(){
    ll a=read(),b=read();
    printf("%lld
",solve(b)-solve(a-1)); 
    return 0;
}