BZOJ3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。

这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。

现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。

幻想乡一共有n个地方，那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。

幻想乡这n个地方本来是连通的，一共有m条边。

现在这m条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。

每条边都有一个修复它需要花费的时间，第i条边所需要的时间为ei。

地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。

现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那n-1条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。

当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值，然后再选择完成时间最小的方案。

幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？

提示：

（以下内容与题意无关，对于解题也不是必要的。）

对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn，第k小的那个的期望值是k/(n+1)。

样例解释：

对于第一个样例，由于只有4条边，幽香显然只能选择这4条，那么答案就是4条边的ei中最大的数的期望，由提示中的内容，可知答案为0.8。

数据范围：

对于所有数据：n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。

对于15%的数据：n<=3。

另有15%的数据：n<=10, m=n。

另有10%的数据：n<=10, m=n(n-1)/2。

另有20%的数据：n<=5。

另有20%的数据：n<=8。

题解Here!

本来想找一道期望的中等难度题，结果。。。

还是硬着头皮上。。。

虽然翻了翻题解。。。

首先理解题意：
给定一个$n$个点$m$条边的无向图，没有重边和自环，每条边的权值为$[0,1]$之间的随机实数，求最小生成树中最大边的期望权值。
根据期望的线性性，我们可以算出随机选前$k$小的那些边使图恰好连通的概率。
则答案为概率之和除以$(m+1)$。
因为良心出题人给了个提示：
对于$m$个$[0,1]$之间的随机变量$x_1,x_2,...,x_m$，第$k$小的那个的期望值是$frac{k}{m+1}$。
有了这个就可以算了。
然而此题略卡精度。。。
所以我们可以考虑先算出可行方案数，再除以总方案数得到概率。
设$num[i]$表示点集$i$之间的无向边边数，再设两个数组：
$f[i][j]$表示点集为$i$，选用$j$条边使点集不连通的方案数；
$g[i][j]$表示点集为$i$，选用$j$条边使点集连通的方案数。
那么显然有：
$$f[i][j]+g[i][j]=inom{j}{cnt[i]}$$
而计算$f$的方法，可以通过枚举包含点集里某个定点的连通块大小来不重不漏的计数。
对于计算$f[S]$，考虑包含点集$S$中某个定点$P$的点集$T$，则$T$为$S$的真子集且$T$和$S−T$之间没有连边。
这样就可以不重不漏地代表$S$不连通的所有情况。
但是两个子点集的边数任意，只用保证$T$是连通的，那么就有：
$$f[S][i+j]=sum_{Tsubset S}{g[T][i] imesinom{j}{cnt[S-T]}}$$
这个转移可以通过对子集的枚举做到$O(3^nm)$。
设全集为$all$，于是答案为：
$$frac{1}{m+1}sum_{i=0}^{m}frac{f[all][i]}{inom{i}{cnt[all]}}$$
这样做用$double$就可以保证精度了。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define MAXN 12
#define MAXM 48
using namespace std;
int n,m;
int edge[1<<MAXN],size[1<<MAXN],num[1<<MAXN];
long long triangle[MAXM][MAXM],f[1<<MAXN][MAXM],g[1<<MAXN][MAXM];
double ans=0;
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void make(){
	int m=MAXM-3;
	triangle[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		triangle[i][0]=triangle[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++)triangle[i][j]=triangle[i-1][j-1]+triangle[i-1][j];
	}
}
void work(){
	for(int s=1;s<(1<<n);s++){
		size[s]=size[s>>1]+(s&1);
		if(size[s]==1){
			g[s][0]=1;
			continue;
		}
		for(int i=0;i<n;i++)if((s>>i)&1)num[s]+=size[edge[i]&s];
		num[s]>>=1;
		int lowbit=s&(-s);
		for(int t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s)
			if(t&lowbit)
				for(int i=0;i<=num[t];i++)
					for(int j=0;j<=num[s^t];j++)
						f[s][i+j]+=g[t][i]*triangle[num[s^t]][j];
		for(int i=0;i<=num[s];i++)g[s][i]=triangle[num[s]][i]-f[s][i];
	}
	for(int i=0;i<=m;i++)ans+=1.0000000*f[(1<<n)-1][i]/triangle[num[(1<<n)-1]][i];
	ans/=m+1;
	printf("%.6lf
",ans);
}
void init(){
	int x,y;
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x=read()-1;y=read()-1;
		edge[x]|=1<<y;
		edge[y]|=1<<x;
	}
}
int main(){
	make();
	init();
	work();
    return 0;
}

BZOJ3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

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