二分图匹配--匈牙利算法

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二分图匹配--匈牙利算法
二分图匹配--匈牙利算法
二分图匹配
匈牙利算法
基本定义：

二分图 —— 对于无向图G=(V,E)，如果存在一个划分使V中的顶点分为两个互不相交的子集，且每个子集中任意两点间不存在边 ϵ∈E,则称图G为一个二分图。

二分图的充要条件是，G至少有两个顶点，且所有回路长度为偶数。

匹配 —— 边的集合，其中任意两条边都不存在公共顶点。
匹配边即是匹配中的元素，匹配点是匹配边的顶点，同样非匹配边，非匹配点相反定义。

最大匹配——在图的所有匹配中，包含最多边的匹配成为最大匹配
完美匹配——如果在一个匹配中所有的点都是匹配点，那么该匹配称为完美匹配。

附注：所有的完美匹配都是最大匹配，最大匹配不一定是完美匹配。假设完美匹配不是最大匹配，那么最大匹配一定存在不属于完美匹配中的边，而图的所有顶点都在完美匹配中，不可能找到更多的边，所以假设不成立，及完美匹配一定是最大匹配。

交替路——从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边…形成的路径称为交替路，交替路不会形成环。

增广路——起点和终点都是未匹配点的交替路。
因为交替路是非匹配边、匹配边交替出现的，而增广路两端节点都是非匹配点，所以增广路一定有奇数条边。而且增广路中的节点(除去两端节点)都是匹配点，所属的匹配边都在增广路径上，没有其他相连的匹配边，因此如果把增广路径中的匹配边和非匹配边的“身份”交换，就可以获得一个更大的匹配(该过程称为改进匹配)。

示例图

Fig1_09_09.JPG

注释：

Fig3是一个二分图G=(V,E),V={1,2,3,4,5,6,7,8},E={(1,7),(1,5),(2,6),(3,5),(3,8),(4,5),(4,6)},该图可以重绘成Fig4，V可分成两个子集V={V1,V2},V1={1,2,3,4},V2={5,6,7,8}。

Fig4中的红色边集合就是一个匹配{(1,5),(4,6),(3,8)}

Fig2中是最大匹配

Fig1中红色边集合是完美匹配

Fig1中交替路举例(4-6-2-7-1-5)

Fig4中增广路(2-6-4-5-1-7)

匈牙利树

匈牙利树中从根节点到叶节点的路径均是交替路，且匈牙利树的叶节点都是匹配点。
匈牙利算法
求解最大匹配的算法，通过不断的寻找增广路径，并将增广路径进行改进匹配，直至找不到更多的增广路径。
二分图的最大匹配可以通过匈牙利树的搜索寻找增广路径来获得，而树的搜索可以使用深度优先搜索(DFS)或者广度优先搜索(BFS)
下面使用matlab代码实现DFS和BFS下的匈牙利算法：

function Hungarian(c1, m, IsDraw)
% 匈牙利算法寻找无向二分图的最大匹配
% inputs:
% -AdjTable 顶点元素的邻接表，cell结构，每一个元素是一个一维数组，
% 保存对应节点的邻接节点编号
% -c1 第一个顶点子集元素个数
% -m 搜索方法,'B'是广度优先搜索，‘D’是深度优先搜索
% -IsDraw 是否绘图

if nargin<2
m='B';
IsDraw=0;
elseif nargin<3
IsDraw=0;
end

global MatTable Check AdjTable
% -MatTable 匹配表，长度为顶点个数，每个元素存放该节点所在匹配边的另一端节点
% 的编号；如果是非匹配点，则对应值为0
cn=length(AdjTable);%顶点个数
MatTable=zeros(1,cn);% 默认都是未匹配点
Check = zeros(1,cn); % 覆盖过的点不能再访问，否则死循环

EdgesNum=0;% 最大匹配中元素个数
if m=='D' % 深度优先搜索
if c1<cn-c1
for i=1:c1
if DFS(i)
EdgesNum=EdgesNum+1;
end
end
else
for j=c1+1:cn
if DFS(j)
EdgesNum=EdgesNum+1;
end
end
end
else % 广度优先搜索
EdgesNum = BFS(c1);
end
fprintf('There is %f edges in the biggest matches. ',EdgesNum);
if IsDraw
c2=cn-c1;
X1=ones(c1,1)*40;
Y1=20:10:c1*10+19;
X2=ones(c2,1)*100;
Y2=20:10:c2*10+19;
X=[X1;X2];
Y=[Y1';Y2'];
color={'ro:','ko:'};
for i=1:cn
if MatTable(i)~=0
plot(X(i),Y(i),color{1},'MarkerSize',15);hold on
if i<=c1
text(X(i)-3,Y(i),num2str(i));
else
text(X(i)+3,Y(i),num2str(i));
end
else
plot(X(i),Y(i),color{2},'MarkerSize',15);hold on
if i<c1
text(X(i)-3,Y(i),num2str(i));
else
text(X(i)+3,Y(i),num2str(i));
end
end
end
for i=1:cn
for j=1:length(AdjTable{i})
if MatTable(i)==AdjTable{i}(j)
plot(X([i,AdjTable{i}(j)]),Y([i,AdjTable{i}(j)]),'r.-','LineWidth',2);hold on
else
plot(X([i,AdjTable{i}(j)]),Y([i,AdjTable{i}(j)]),'k.-','LineWidth',2);hold on
end
end
end
box('on')
axis off
hold off

end

end
% AdjTable 邻接表
% MatTable 匹配表
function bool=DFS(u)
% n 是左侧未匹配点的编号
% 寻找节点n的一条未匹配边
global AdjTable MatTable Check
for i=1:length(AdjTable{u})
v=AdjTable{u}(i);
if ~Check(v)
Check(v)=1;
if MatTable(v) == 0|| DFS(MatTable(v))
%v是未匹配点则找到增广路径，交换身份
%否则，如果v的匹配点存在增广路径,
%那么也是找到一条增广路径
% || 是短路运算符
MatTable(u) = v;
MatTable(v) = u;
bool=1;
return;
end
end
end
bool=0;
end

function EdgeNum=BFS(c1)
global AdjTable MatTable Check
pre = zeros(length(AdjTable))-1;
% 存放的是该点所在的非匹配边的前一个非匹配边的右端端点编号
queue=[];% 广度优先搜索需要的搜索队列
EdgeNum=0;%最大匹配元素个数
for i=1:c1
if ~MatTable(i) % 寻找未匹配点
queue=[i];%入队列
flag = 0; % 未找到增广路径
pre(i)=-1; % 为了最后改进路径时设定终点
while(~isempty(queue)&&~flag)
u=queue(1);
queue(1)=[];%出队列
edges=AdjTable{u};
for j=1:length(edges)
v = edges(j);
if ~flag && Check(v)~=i
Check(v)=i;
queue=[queue,MatTable(v)];
%找到一条匹配路，将匹配路的右端节点放入队列
if MatTable(v) % 非增广路
pre(MatTable(v))=u;
%下一条非匹配边的起点对应前一条非匹配边的起点
else % 找到增广路径
flag=1;
d=u;
e=v;
while d~=-1
t = MatTable(d);
MatTable(d)=e;
MatTable(e)=d;
d = pre(d);
e = t;
end
end
end
end
end
end
if MatTable(i)~=0 %表示找到增广路径了，此时起点肯定在匹配边上
EdgeNum=EdgeNum+1;
end
end
end

function testHungarian
c1=5;
c2=5;
% AdjMatrix=randi(2,c1,c2)-1;
t=0.7;
AdjMatrix=rand(c1,c2)>t;
% AdjMatrix=ones(c1,c2);
global AdjTable
AdjTable = cell(c1+c2,1);
for i=1:c1
t=find(AdjMatrix(i,:)~=0);
AdjTable{i}=c1+t;
end
for j=1:c2
t=find(AdjMatrix(:,j)~=0);
AdjTable{c1+j}=t;
end

Hungarian(c1,'B',1);
end

分析：
参考的blog中指出算法的时间复杂度为,实际应用中使用BFS的算法比DFS算法更快，但是在matlab代码中，发现使用DFS算法的搜索比BFS算法搜索的速度快不少，尤其是顶点和边数比较大的情形。

参考文献
Renfei Song's Blog
百度百科-二分图
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原文地址：https://www.cnblogs.com/YiXiaoZhou/p/5875040.html

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基本定义：

匈牙利树