[HAOI2016] 放棋子及错排问题

题目

Description

给你一个N*N的矩阵，每行有一个障碍，数据保证任意两个障碍不在同一行，任意两个障碍不在同一列，要求你在这个矩阵上放N枚棋子（障碍的位置不能放棋子），要求你放N个棋子也满足每行只有一枚棋子，每列只有一枚棋子的限制，求有多少种方案。

Input

第一行一个N，接下来一个N*N的矩阵。N<=200,0表示没有障碍，1表示有障碍，

Output

一个整数，即合法的方案数。

Solution

我们先来科普一下错排问题。

错排问题指考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。  ---《百度百科》

看上去这就是一个递推问题，那么递推式是如何推出来呢？

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

   D(n) = (n-1) *(D(n-2) + D(n-1))

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

 

知道了这个之后，这题就是一个裸的高精了。

Code

// By YoungNeal
#include<cstdio>
using namespace std;
// D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))
// D(1)=0 D(2)=1

int n;
int D[205][100005];

void ad(int now){
    int x=0;
    for(int i=1;i<100005;i++){
        D[now][i]=D[now-1][i]+D[now-2][i]+x;
        x=D[now][i]/10;
        D[now][i]%=10;
    }
    x=0;
    for(int i=1;i<100005;i++){
        D[now][i]=D[now][i]*(now-1)+x;
        x=D[now][i]/10;
        D[now][i]%=10;
    }
}

signed main(){
    scanf("%d",&n);
    D[2][1]=1;
    if(n==1||n==2){
        printf("%d",n-1);
        return 0;
    }
    for(int i=3;i<=n;i++)
        ad(i);
    int lenc=100004;
    while(D[n][lenc]==0) lenc--;
    while(lenc) printf("%d",D[n][lenc--]);
    return 0;
}