POJ 1061.青蛙的约会-扩展欧几里得

扩展欧几里得算法

是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。       

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POJ1061 青蛙的约会

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

由题意为求解一个不定方程:(n-m)*t+k*l=x-y;

代码:

#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=y;
    y=x-(a/b)*y;
    x=t;
    return r;
}
int main(){
    ll x,y,m,n,l,d;
    ll a,b,c,r,t1,t2;     //(n-m)*t+k*l=x-y;
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)){
        a=n-m;
        b=l;
        r=x-y;
        c=gcd(a,b);
        if(r%c!=0){
            printf("Impossible
");
            continue;
        }
        else
        　　d=exgcd(a,b,t1,t2);
        t1=r*t1/d;
        t1=(t1%(b/d)+(b/d))%(b/d);
        printf("%lld
",t1);
    }
        return 0;
}

首先是介绍欧几里得算法(辗转相除法)求最大公约数:

Acm之家这个网站上也有详解扩展欧几里得算法。

特解为gcd(a,0)=a;

代码:

int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
a,b ==  b,a%b;

假设:最大公约数为d;因为a%d=0;b%d=0;所以a=k*b+r;a%b==r;所以r=a-k*b;r%d=0; 

r=a mod b;r=a-(a/b)*b; -->k=a/b;                                //这里想错了。。。a/b是整除，不是除法，为取整。

r=a-a/b*b=a%b;

扩展欧几里得是在求gcd的过程中，顺带着推出来x和y的值。

扩展欧几里得求的是a*x₀+b*y₀=gcd(a,b)这个方程的解。

但是要求的是a*x+b*y=r这个解。

以下为两种理解:

1.

x=r*x₀/gcd;

ll gcd=exgcd(a,b,x,y);这个求出来的是gcd(a,b);

因为要求的是a*x+b*y=r。

a*x₀+b*y₀=gcd(a,b) --->a*x₀+b*y₀=gcd(a,b)/r*r;

把gcd(a,b)/r移到左边，为a*x₀/gcd(a,b)*r+b*y₀/gcd(a,b)*r=r。

所以把a*x₀+b*y₀=gcd(a,b)求到的解,通过x=x₀/gcd(a,b)*r，得到a*x+b*y=r的解。

因为要求的是最小解a*x+b*y=r;

a*(x+k*b)+b*(y-k*a)=r那么x的解满足x=x₀+k*b这个形式。但是这个不是最简的，因为a,b有公约数的。

最小正整数解x=(x%gcd+gcd)%gcd; a*(x+k*b/gcd(a,b))+b*(y-k*a/gcd(a,b))=r这个是最简的。

2.

因为exgcd求出来的是gcd的解，所以要求r对应的解，就看r是gcd的多少倍直接x和y的值乘以相应的倍数就可以。

a*x₀+b*y₀=gcd(a,b);

r=k*gcd(a,b)，所以直接结果乘k就可以了。

老是错，最后知道哪里错了，把continue忘了。。。

bb完了，溜了。