[HAOI2010]最长公共子序列（LCS+dp计数）

字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij = yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。对给定的两个字符序列，求出他们最长的公共子序列长度，以及最长公共子序列个数。

Solution

这题其实就是让求两个序列的LCS和方案数。

LCS的求法：

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1(s[i]==s[j])

dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])(s[i]!=s[j])

这个非常简单，但计数部分需要一些思考。

第一种情况时，我们当前的方案数位不管i位和j位的方案数(因为i和j匹配了），所以要把g[i-1][j]和g[i][j-1]讨论一下。

第二种情况，当dp[i-1][j]==dp[i][j-1]时，我们的g[i-1][j-1]的方案都被算了一次，所以要减掉。

这道题可以加深对LCS的理解。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 5004
#define mod 100000000
using namespace std;
int dp[2][N],n1,n2,now;
long long g[2][N];
char s1[N],s2[N];
int main(){
    scanf("%s%s",s1+1,s2+1);
    n1=strlen(s1+1)-1;
    n2=strlen(s2+1)-1;
    for(int i=0;i<=n1;++i)g[0][i]=g[1][i]=1;
    for(int i=1;i<=n1;++i){
      now^=1;
      for(int j=1;j<=n2;++j){
          int f=(s1[i]==s2[j]);
          if(f){
            dp[now][j]=dp[now^1][j-1]+f;
            g[now][j]=g[now^1][j-1];
            if(dp[now^1][j]==dp[now][j])(g[now][j]+=g[now^1][j])%=mod;
            if(dp[now][j-1]==dp[now][j])(g[now][j]+=g[now][j-1])%=mod;
        }
        else{
            g[now][j]=0;
            dp[now][j]=max(dp[now^1][j],dp[now][j-1]);
            if(dp[now^1][j]==dp[now][j])(g[now][j]+=g[now^1][j])%=mod;
            if(dp[now][j-1]==dp[now][j])(g[now][j]+=g[now][j-1])%=mod;
            if(dp[now^1][j-1]==dp[now][j])(g[now][j]-=g[now^1][j-1])%=mod;
            g[now][j]=(g[now][j]+mod)%mod;
       }
    }
   }
    printf("%d
%d",dp[now][n2],g[now][n2]);
    return 0;
}