BZOJ4031 [HEOI2015] 小Z的房间

@(BZOJ)[行列式, Matrix-Tree定理, 高斯消元]

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含(n * m)个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示(n)和(m)。
接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’’，其中’.’代表房间，’’代表柱子。

Output

一行一个整数，表示合法的方案数 (Mod 10^9)

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前(100%)的数据，(n,m le 9)

Solution

需要運用到Matrix-Tree定理和一些行列式的知識(見前面的<行列式學習筆記>).

下面我们介绍一种新的方法——Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)。Matrix-Tree定理是解决生成树计数问题最有力的武器之一。它首先于1847年被Kirchhoff证明。在介绍定理之前，我们首先明确几个概念：

1. (G)的度数矩阵(D[G])是一个(n * n)的矩阵，并且满足：当(i e j)时,(d_{i, j})=0；当(i = j)时，(d_{i, j})等于(v_i)的度数。
2. (G)的邻接矩阵(A[G])也是一个(n * n)的矩阵， 并且满足：如果(v_i)、(v_j)之间有边直接相连，则(a_{i, j}=1)，否则为(0)。

我们定义(G)的Kirchhoff矩阵(也称为拉普拉斯算子)(C[G])为(C[G] = D[G] - A[G])，则Matrix-Tree定理可以描述为：(G)的所有不同的生成树的个数等于其Kirchhoff矩阵(C[G])任何一个(n - 1)阶主子式的行列式的绝对值。所谓(n - 1)阶主子式，就是对于(r (1 le r le n))，将(C[G])的第(r)行、第(r)列同时去掉后得到的新矩阵，用(Cr[G])表示。

實際上, 這個矩陣並不需要由兩個相減得來(畢竟Kirchoff矩陣一般只會考它的結論). 可以直接枚舉兩個點(u)和(v), 假如(u o v)有一條連邊, 則矩陣中(det[u][u] ++)同時(det[u][v] --). 這樣得到的結果相當於這兩個矩陣相減. 然後再這個行列式上跑類似於高斯消元的東西就可以了.

注意: 一定要把任意的第(r)行第(r)列去掉后再求出行列式的值, 否则求出的答案永远都是(0)

還有一點要注意的:

然后关于取模的高斯消元，有两种实现方法：
①求乘法逆元
②欧几里得算法，同时把其他项也给消掉。注意在交换的时候，根据行列式的性质，取负号。注意全部变成正数再进行gcd。

差不多就是這些了.

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

inline void read(int &x)
{
	x = 0;
	int flag = 1;
	char c;
	while(! isdigit(c = getchar()))
		if(c == '-')
			flag *= - 1;
	while(isdigit(c))
		x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	x *= flag;
}

inline void read(char &c)
{
	while(! isgraph(c = getchar()));
}

void println(int x)
{
	if(x < 0)
		putchar('-'), x *= - 1;
	if(x == 0)
		putchar('0');
	int ans[1 << 5], top = 0;
	while(x)
		ans[top ++] = x % 10, x /= 10;
	for(; top; top --)
		putchar(ans[top - 1] + '0');
	putchar('
');
}

const int N = 1 << 4, M = 1 << 4;
const long long MOD = (long long)1e9;

const int movesLikeJagger[4][2] = {{1, 0}, {- 1, 0}, {0, 1}, {0, - 1}};

int n, m;

char s[N][M];
int id[N][M];

long long det[N * M][N * M];

inline int legal(int x, int y)
{
	return x && x <= n && y && y <= m && s[x][y] == '.';
}

inline void add(int u, int v)
{
	det[u][u] ++, det[u][v] --;
}

long long calculate(int n)
{
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		for(int j = 0; j < n; j ++)
			det[i][j] = (det[i][j] + MOD) % MOD;
			
	long long sign = 0;
	
	for(int i = 0; i < n; i ++)
	{
		int j;
		
		for(j = i; j < n; j ++)
			if(det[j][i])
				break;
		
		if(j == n)
			continue;
		
		if(i != j)
		{
			sign ^= (i != j);
			for(int k = i; k < n; k ++)
				swap(det[j][k], det[i][k]);
		}
		
		for(int j = i + 1; j < n; j ++)
			while(det[j][i])
			{
				int tmp = det[j][i] / det[i][i];
				
				for(int k = i; k < n; k ++)
					det[j][k] = (det[j][k] - det[i][k] * tmp % MOD + MOD) % MOD;
					
				if(! det[j][i])
					break;
					
				sign ^= 1;
				for(int k = i; k < n; k ++)
					swap(det[i][k], det[j][k]);
			}
	}
	
	long long ret = 1;
	
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		ret = (ret * det[i][i]) % MOD;
		
	if(sign)
		ret = (MOD - ret) % MOD;
		
	return ret;
}

int main()
{
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("BZOJ4031.in", "r", stdin);
	freopen("BZOJ4031.out", "w", stdout);
	#endif
	
	read(n), read(m);
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 1; j <= n; j ++)
			read(s[i][j]);
			
	int cnt = 0;
			
	for(int i = 1; i <= n ; i ++)
		for(int j = 1; j <= m; j ++)
			if(s[i][j] == '.')
				id[i][j] = cnt ++;
				
	memset(det, 0, sizeof(det));
			
	for(int x = 1; x <= n; x ++)
		for(int y = 1; y <= m; y ++)
			if(legal(x, y))
				for(int i = 0; i < 4; i ++)
				{
					int nextX = x + movesLikeJagger[i][0], nextY = y + movesLikeJagger[i][1];
					if(legal(nextX, nextY))
						add(id[x][y], id[nextX][nextY]);
				}
	
	int ans = calculate(cnt - 1);
	
	println(ans);
}