傅里叶变换

傅里叶级数很容易理解，而傅里叶变换抽象许多。
傅里叶变换的目的在于，将图像从spatial domain变换到frequency domain。这样就能处理图像中特定频率的信息，并且可以通过傅里叶逆变换还原。

• 第一个角度
  来自知乎回答，答主写得非常好，以下全文引用。

傅里叶变换就是除法.

首先通过一个简单的例子来看除法是如何实现变换的：

假设只存在五元和二元硬币，现在有人告诉你他有九块钱，你想知道他有什么硬币。这是一个从钱数到硬币个数的变换。（这里有个问题五元和二元不是正交基，只是方便理解）
9/5 =1余4 --> 包含一个5
4/2=2余0 --> 包含两个2

你立刻就知道他有一个（强度）五元（频率）和两个（强度）二元（频率）。
看，成功从金钱域变换到了硬币域。

傅里叶变换公式的这个写法非常的坑爹，好好的除法非要在指数上加负号！这就是所有不解的来源！

一切误会和不解的来源。

如果这样写：
这才是正确的写法，其中分母是频率为ω的圆周运动：

这就是频率为ω的圆周运动。

然后傅里叶变换就是在用除法求在f(t)中有多少频率为ω的圆周运动，然后把它们加起来，得到f(t)中所有频率ω的分布函数。

总结一下，通过积分，我们把t消除，得到了关于频率的函数，这也就是所有频率的分布函数。完美！

• 第二个角度，来自3b1b。

e^{-iwt} 可以看作在复平面上，以原点为中心，半径为1的一个圆的旋转，旋转的速度或者说，周期由wt决定。而写成wt，则是把t分离出来，w代表了wt/t。wt从0到2π代表旋转了一圈。
而Ce^{-iwt}代表把这个圆半径乘上C，就代表点到原点距离随着t也会改变。那么实际上我们有三个变量，复平面两个再加上t一个。这个时候可以把t拉上到z轴，我们得到了一个曲线，所以复平面上的点是曲线上某点在xy轴上的投影。
待分离频率的函数 f(t)e^{-iwt} 在w确定的情况下，正无穷到负无穷积分，得到的是曲线（不是螺旋，螺旋是C=常数时）在x轴上的投影。积t的分相当于投影到复平面XOY，而积分限关于t=0，x=0对称消去了虚部，也就是说我们实际上投影了两次，第一次在复平面上投影，第二次再把结果投影到x轴上。

• 第三个角度：

我们从傅里叶级数来看，一个连续无周期函数可以被分离成频率分布函数的积分，y轴是权值。如果是离散的，那么就是若干个频率的函数加权求和的结果。而这些函数之间两两正交，那么得到这些函数的分布就很简单，乘以本身再积分就能得到权值。那么我们观察傅里叶变换公式，也是一个意思，想得到某个频率F(w)，那么就用原函数f(t)乘以对应的频率，再求积分。这个乘以对应角度2的旋转，积分对应角度2的求质心在x轴上的投影坐标。

• 补充：

实函数表示为傅里叶级数，傅里叶级数本身不包括虚数分量部分，它是角度2里面，旋转曲线在复平面投影的圆的实部，也就是圆的x轴投影。要用欧拉公式统一表示就会扩展到虚数部分，然后为了消去虚数部分，本身1到N的求和就变成了-N到N。变换到积分就是+无穷到-无穷，这样的话，y轴的分量就会完全抵消，也就是说虚部就消失了。（这里隐含的意思是，这个曲线的虚部y轴，关于t=0这个平面奇对称，也就是说幅度一样，方向相反。往上曲线旋转的方向和往下是相反的，这也可以通过欧拉公式得出。另外也可以通过：实函数的FT结果，实部是偶函数，虚部是奇函数，那么两边累加，奇函数相互抵消了）

• 最后总结：

傅里叶变换精确地还原出了原函数的频谱分布。

• 连续函数傅里叶变换：对原函数有限时长的采样导致频谱取值范围无限，除非有限时间内正好得到了原函数的整数个周期（前提是原函数是周期函数，并且是band-limited）。因为连续不可导的两个边沿需要无穷多个频率分量来拟合。

• DFT：对原函数采样的频率越高，频谱的取值范围就越大，这个可以用采样定理理解。采样时间越长，频谱的精度越高。这个和前面这部分对称的。