费马小定理 入门

费马小定理新手入门+总结

纵有疾风起

前言

最近新手的我做了几个和快速幂有关的题目，发现他们还经常和费马小定理联系在一起，所以有必要写一篇文章来总结一下费马小定理，以便后面更好的学习。

内容介绍

费马小定理是数论中的一个重要定理，再1636年提出。

​核心：如果p是一个质数，并且整数a不是p的倍数，则有公式：(a^{p-1}equiv1(mod p))。

定理应用

那么问题来了，这个定理该怎么应用呢？

这里举一个题目来进行说明。

Sum HDU - 4704

这个题目大体的意思是说输入一个数N，求N被拆分成若干个正整数的结果，注意 1+2 和 2+1算作两种。N很大，需要使用数组进行存储。

输出的结果可能很大，需要mod 1e9+7，注意这个数是一个质数，正好符合费马小定理的要求。

题目解答

1. 隔板原理+组合数求和公式

   (1-N)有N个元素，每个元素代表一个，分成K个数，即在((N-1))个空挡里放置(（K-1）)块隔板（最多放置N-1个挡板）。

   即求组合数(，C(0,N-1)+C(1,N-1)+...+C(N-1，N-1))的和，根据二项式定理，这个和为(2^{n-1})

2. 使用费马小定理

   因为N很大，所以需要使用费马小定理来进行降幂

   [2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)+k(p-1)}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}mod(p)*2^{k*(p-1)}mod(p) ag{2.1} ]

   又因为p是一个质数，且2和p互质，那么就可以使用费马小定理了，即

   [2^{k*(p-1)}mod(p)=1 ag{2.2} ]

   这样将(公式(2.2)公式)带入到(公式(2.1)公式)中得到

   [2^{n-1}mod(p)=2^{n-1-k(p-1)}=2^{(n-1)mod(p-1)} ag{2.3} ]

   于是计算就变得比较简单了。

3. 快速幂进行求取(2^{(n-1)mod(p-1)})的值

   快速幂的复杂度为(O(lgN))

代码展示

• #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<queue>
  #include<algorithm>
  
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const ll mod=1e9+7;
  const ll maxn=1e8;
  char str[maxn];
  
  ll qpow(ll a) //快速幂的模板
  {
  	ll ans=1, base=2; //base存储基数，这里可以调整不同的数
  	while(a)
  	{
  		if(a&1)
  		{
  			ans=ans*base%mod;
  		}
  		base=(base*base)%mod; //注意这里如果基数是2的情况下，不能使用base=(base<<1)%mod
                                //因为这里有mod，所以写法目前是唯一的，就是代码中的写法。
  		a>>=1;
  	}
  	return ans%mod;
  }
  int main()
  {
  	while(scanf("%s", str)!=EOF)
  	{
  		ll num=0, len=strlen(str);
  		for(int i=0; i<len; i++)
  			num=(num*10 + str[i]-'0') % (mod-1); //这就是对2的指数的化简，使用费马小定理
  		printf("%lld
  ", qpow(num-1));
  	}
  	return 0;
   }
  

总结

[2^{p-1}=1(mod p) ]

1. 费马小定理最重要的一点是p（模数）必须是质数，并且与a（底数）互质，只有这样才能使用。
2. 使用这个定理的目的主要是降低计算的复杂度。
3. 也可以用于某些数论方面的题目，这个目前自己用的比较少，不是很清楚。

END