【线段树集合hash】bzoj4373: 算术天才⑨与等差数列

hash大法好（@ARZhu）；大数相乘及时取模真的是件麻烦事情

Description

算术天才⑨非常喜欢和等差数列玩耍。
有一天，他给了你一个长度为n的序列，其中第i个数为a[i]。
他想考考你，每次他会给出询问l,r,k，问区间[l,r]内的数从小到大排序后能否形成公差为k的等差数列。
当然，他还会不断修改其中的某一项。
为了不被他鄙视，你必须要快速并正确地回答完所有问题。
注意：只有一个数的数列也是等差数列。

Input

第一行包含两个正整数n,m(1<=n,m<=300000)，分别表示序列的长度和操作的次数。
第二行包含n个整数，依次表示序列中的每个数a[i](0<=a[i]<=10^9)。
接下来m行，每行一开始为一个数op，
若op=1，则接下来两个整数x,y(1<=x<=n，0<=y<=10^9)，表示把a[x]修改为y。
若op=2，则接下来三个整数l,r,k(1<=l<=r<=n，0<=k<=10^9)，表示一个询问。
在本题中，x,y,l,r,k都是经过加密的，都需要异或你之前输出的Yes的个数来进行解密。

Output

输出若干行，对于每个询问，如果可以形成等差数列，那么输出Yes，否则输出No。

Sample Input

5 3
1 3 2 5 6
2 1 5 1
1 5 4
2 1 5 1

Sample Output

No
Yes

题目分析

动态询问区间是否为「等差数列」。出题人用线段树维护了区间最小；区间gcd；区间……等等一系列标记。

然而HZQ给出了一个吊打出题人的做法：线段树hash。

注意到询问的区间可以视作集合形式，与顺序无关。于是便可以快速地集合hash。

具体来说用线段树维护区间最小值（用于寻找等差数列首项）；区间立方和（由费马大定理得立方和不容易被卡；不过在这题出题人并没有恶意卡平方哈希）

问题就在于如何快速验证；换句话说就是计算询问的等差数列的hash值$x^3+(x+k)^3+(x+2*k)^3+...+(x+(n-1)*k)^3$其中$n$为序列长度

把式子按照指数展开，就可以愉快地$O(1)$计算数列答案了。我才没有暴力展开算了1h什么都没算出来

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 typedef long long ll;
  3 const ll MO = 1e9+7;
  4 const int INF = 2e9;
  5 const int maxn = 300035;
  6 
  7 int n,m,preans;
  8 ll mn[maxn<<2],f[maxn<<2];
  9 
 10 int read()
 11 {
 12     char ch = getchar();
 13     int num = 0;
 14     bool fl = 0;
 15     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
 16         if (ch=='-') fl = 1;
 17     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
 18         num = (num<<1)+(num<<3)+ch-48;
 19     if (fl) num = -num;
 20     return num;
 21 }
 22 ll qmi(ll a, ll b)
 23 {
 24     ll ret = 1;
 25     while (b)
 26     {
 27         if (b&1) ret = ret*a%MO;
 28         a = a*a%MO, b >>= 1;
 29     }
 30     return ret;
 31 }
 32 void pushup(int rt)
 33 {
 34     mn[rt] = std::min(mn[rt<<1], mn[rt<<1|1]);
 35     f[rt] = (f[rt<<1]+f[rt<<1|1])%MO;
 36 }
 37 void build(int rt, int l, int r)
 38 {
 39     mn[rt] = INF;
 40     if (l==r){
 41         mn[rt] = f[rt] = read();
 42         f[rt] = 1ll*f[rt]*f[rt]%MO*f[rt]%MO;
 43         return;
 44     }
 45     int mid = (l+r)>>1;
 46     build(rt<<1, l, mid), build(rt<<1|1, mid+1, r);
 47     pushup(rt);
 48 }
 49 void update(int rt, int l, int r, int pos, ll c)
 50 {
 51     if (l==r){
 52         f[rt] = c*c%MO*c%MO, mn[rt] = c;
 53         return;
 54     }
 55     int mid = (l+r)>>1;
 56     if (pos <= mid) update(rt<<1, l, mid, pos, c);
 57     else update(rt<<1|1, mid+1, r, pos, c);
 58     pushup(rt);
 59 }
 60 int queryMn(int rt, int L, int R, int l, int r)
 61 {
 62     if (L <= l&&r <= R) return mn[rt];
 63     int mid = (l+r)>>1, ret = INF;
 64     if (L <= mid)
 65         ret = queryMn(rt<<1, L, R, l, mid);
 66     if (R > mid) ret = std::min(ret, queryMn(rt<<1|1, L, R, mid+1, r));
 67     return ret;
 68 }
 69 ll query(int rt, int L, int R, int l, int r)
 70 {
 71     if (L <= l&&r <= R) return f[rt]%MO;
 72     int mid = (l+r)>>1;
 73     ll ret = 0;
 74     if (L <= mid) ret = query(rt<<1, L, R, l, mid);
 75     if (R > mid) ret += query(rt<<1|1, L, R, mid+1, r);
 76     return ret%MO;
 77 }
 78 ll calc(ll x, ll n, ll k)
 79 {
 80     ll ret = n*x%MO*x%MO*x%MO, pos = 1ll*n*(n-1)%MO*qmi(2, MO-2)%MO;
 81     ret += ((k*k%MO*k%MO*pos%MO*pos%MO+3*k%MO*x%MO*x%MO*pos%MO)%MO+k*x%MO*k%MO*(2*n-1)%MO*pos%MO)%MO;
 82     return ret%MO;　　　　　　　　　　//时刻记得要取模！
 83 }
 84 int main()
 85 {
 86 //    freopen("4373.in","r",stdin); 
 87 //    freopen("4373.out","w",stdout);
 88     n = read(), m = read();
 89     build(1, 1, n);
 90     for (int i=1; i<=m; i++)
 91     {
 92         int opt = read();
 93         if (opt==1){
 94             int x = read()^preans, y = read()^preans;
 95             update(1, 1, n, x, y);
 96         }else{
 97             int l = read()^preans, r = read()^preans, k = read()^preans, lens = (r-l+1);
 98             int st = queryMn(1, l, r, 1, n);
 99             ll sum = query(1, l, r, 1, n);
100             if (calc(st, lens, k)==sum) preans++, puts("Yes");
101             else puts("No");
102         }
103     }
104     return 0;
105 }

END