[论文理解] Mutual Information Neural Estimation

Mutual Information Neural Estimation

互信息定义：

(I(X;Z) = int_{X imes Z} logfrac{dmathbb{P}(XZ)}{dmathbb{P}(X) otimes mathbb{P}(Z)}dmathbb{P}(XZ))

CPC文章里用下面这个公式定义要更加容易理解，都是一样的：

[I(x;z) = sum_{x,z}p(x,z) log frac{p(x,z)}{p(x)p(z)} ]

互信息越大，表明两个变量依赖关系越强，互信息越小，表示两个随机变量越独立。

KL散度的对偶问题：

因此根据KL散度和其对偶问题之间的关系我们可以得到：

[D_{K L}(mathbb{P} | mathbb{Q}) geq sup _{T in mathcal{F}} mathbb{E}_{mathbb{P}}[T]-log left(mathbb{E}_{mathbb{Q}}left[e^{T} ight] ight) ]

利用上式优化互信息的下界：

[I(X ; Z) geq I_{Theta}(X, Z) ]

[I_{Theta}(X, Z)=sup _{ heta in Theta} mathbb{E}_{mathbb{P}_{X Z}}left[T_{ heta} ight]-log left(mathbb{E}_{mathbb{P}_{X} otimes mathbb{P}_{Z}}left[e^{T_{ heta}} ight] ight) ]

优化算法：

一般来说z的分布用高斯分布，x和z的分布(marginal distribution)都好采样；

对于joint distribution，用一个神经网络来建模，即F(x,z)，然后其结果就是joint distribution的采样了。

代入公式计算即可。

class Mine(nn.Module):
    def __init__(self, input_size=2, hidden_size=100):
        super().__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(input_size, hidden_size)
        self.fc2 = nn.Linear(hidden_size, hidden_size)
        self.fc3 = nn.Linear(hidden_size, 1)
        
    def forward(self, input):
        output = F.elu(self.fc1(input))
        output = F.elu(self.fc2(output))
        output = self.fc3(output)
        return output

def mutual_information(joint, marginal, mine_net):
    t = mine_net(joint)
    et = torch.exp(mine_net(marginal))
    mi_lb = torch.mean(t) - torch.log(torch.mean(et))
    return mi_lb, t, et