hdu3976(Electric resistance) 高斯消元 的题解 ：转自 https://www.cnblogs.com/ACRykl/p/8711227.html
Electric resistance
总体思路：利用 节点电压法 列线性方程，然后高斯消元法求解。
① 先普及一下知识：
节点：电路中三条或三条以上支路的交点。
参考点：任选的一个个点，把该点作为电路的的电位参考点，
通常选择为一个节点，因为多出了一个节点没用
节点电压：节点与参考点之间的电压
独立源：包含电压源和电流源。
电流源：电流不受外电路的影响而独立存在的电源。
电导：电阻的倒数。
自导：就是该节点所连的支路电导之和，
如 G(11) 就是 1 号节点所连的各支路电导之和。
互导：相邻节点间公共电导之负值，
如 G(1,2) 就是1 号节点和 2 号节点之间的电导之和的负值。
一般的，对于有 n 个节点的电路应用 KCL 列方程式时，只能写出 n-1 个独立方程，
且为任意 n-1 个，这 n-1 个称为 独立节点，节点分析法可以从 KCL 推导证明（这里就不讲了）
所以我们用 节点分析法时，只需要用到 n-1 个节点
② 以节点电压为待求的电路变量，求解电路。
(注意这里的 n 为 结点数 - 1 )
对于第一个矩阵，主对角线上的元素为：自导
其余元素为：互导
对于第二个矩阵，其值为对应节点的节点电压，如 U1 为 1 号节点的节点电压
对于第三个矩阵，xi 代表: 连接到该节点各支路中独立源所引起的电流代数和
对于电流源产生的电流，当流入节点时为正，反之为负；
对于电压源产生的电流，当电压源正极靠近该节点时为正，反之为负。
③ 将上述矩阵展开 得到 n 个方程 （再提醒一次，这里的 n 是：结点数-1 ）
于是有增广矩阵：
③ 具体思路
节点电压法就是通过电流和电阻求解电压，而这道题没给出电压，我们就自己外加电压源，
为了计算方便，我们就在 节点1 和 节点 n 之间外加电流源，为什么是电流源呢？当然是为了 容易求电流了，
而且 既然追求简单，我们自然要贯彻到底，就可以设电流源流出的电流 为 1.，
而且 上面我已经强调过几次了，我们只需要用到 n-1 个节点，所以 我们可以不用 节点1 并设其电压为 0.
这样子 我们就可以列增广矩阵，求解 各节点电压，然后 用
（节点 n 的电压 - 0 （节点 1的电压）） / 1（节点1和节点n 之间的 总电流）= 等效电阻
化简一下就是， 节点 n 的电压 = 等效电阻
为了更直观，我用题目的下标再画一个增广矩阵矩阵吧。
注意节点1 是不用求的，所以我们只用到 节点2 到 节点n. 而我的代码里的增广矩阵是从下标 0 开始的，
各位要看清楚，a[0][0] 对应的是 G21,即 节点1 和 节点 2 之间电阻的倒数。
而且 各节点间只有 节点1 和 节点n 之间有独立电流源引起的电流，所以 x1 和 xn 为 1 （当然，x1 没用到)，其他皆为 0
证明：节点电压法可列 必有解 （还不会证明，等我线代学完）
首先，我们先 观察一下 n 个节点，n 个方程的增广矩阵，注意一下，这里多列了一条线性没有贡献的方程，但不止多了一行，而且多了一列。
原先是 (n-1)*(n-1+1) ，现在是 n*(n+1)的矩阵。(+1 是因为有一列常数项向量)的矩阵）
因为这样比较容易看出 节点电压法所列的增广矩阵的特点。
特点①：系数矩阵 是关于主对角线对称的，即 G( i , j )=G( j , i )
特点②：系数矩阵的每一行加起来和为 0，如：G(1,1)= - （G(1,2) + G(1,3) + ..+ G(1,n)）,所以 G(1,1)+G(1,2) + G(1,3) + ..+ G(1,n) = 0
Let's go back to 节点方程所列的增广矩阵，怎么证明该方程必有解呢？
我们将线性方程组记为： Ax=B,只要 A 可逆，x 必有解
其中 A 为系数矩阵， B 为 常数项向量，那么怎么证明 A 可逆呢？
只要 A 满足 两个条件，A 为方阵，且 det(A) != 0 即可，
于是，对于 A 对应的行列式：
============ ========= ========= ======= ====== ===== ===== === == =
一剪梅·舟过吴江 宋代： 蒋捷
何日归家洗客袍？银字笙调，心字香烧。