[HAOI2011]Problem c

题目描述

给n个人安排座位，先给每个人一个1~n的编号，设第i个人的编号为ai（不同人的编号可以相同），接着从第一个人开始，大家依次入座，第i个人来了以后尝试坐到ai，如果ai被占据了，就尝试ai+1，ai+1也被占据了的话就尝试ai+2，……，如果一直尝试到第n个都不行，该安排方案就不合法。然而有m个人的编号已经确定(他们或许贿赂了你的上司...)，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。由于答案可能很大，只需输出其除以M后的余数即可。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数T，表示数据组数

对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示n、m、M

若m不为0，则接下来一行有m对整数，p1、q1，p2、q2 ,…, pm、qm，其中第i对整数pi、qi表示第pi个人的编号必须为qi

输出格式：

对于每组数据输出一行，若是有解则输出YES，后跟一个整数表示方案数mod M，注意，YES和数之间只有一个空格，否则输出NO

输入输出样例

输入样例#1：

2
4 3 10
1 2 2 1 3 1
10 3 8882
7 9 2 9 5 10

输出样例#1：

YES 4
NO

说明

100%的数据满足：1≤T≤10，1≤n≤300，0≤m≤n，2≤M≤10^9，1≤pi、qi≤n 且保证pi互不相同。

dp + 组合数学
感觉现在dp是PJ水平T^T
首先我们发现选择顺序对答案没有影响
所以只需要考虑每种编号选取几个
可以用f[i][j]表示编号<= i的人有j个
我们可以发现一个方案合法必须使得编号 <=i 的至少有i个人
所以判断NO的条件就是编号为i的人少于i个
cnt[i]表示已经确定编号是i的人数
upp[i]表示能安排编号<=i的人数的上限（下限显然是i)
dp的时候就从前向后递推，第一层i是编号为i，第二层j是编号<=i的有j个人，第三层k是编号为i的有k个人
dp式子为(f[i][j] += f[i - 1][j - k] * C[upp[i] - j + k - cnt[i]][k - cnt[i]])
(C[upp[i] - j + k - cnt[i]][k - cnt[i]])表示从(upp[i] - j + k - cnt[i])中选出(k - cnt[i])个的方案数
因为我们枚举了编号<=i的人数j和编号恰好为i的人数k，所以可以从 (upp[i] - (j - k)) 中选择
又因为有(cnt[i])个已经提前预定辣，所以还要再减掉(cnt[i])
编号恰好为i的有k个人，所以要选出k个
但是有cnt[i]个提前预定，所以也要减掉cnt[i]

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
# define LL long long
const int M = 305 ;
inline int read() {
    char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
    while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
    while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
    return x*w ;
}
int n , m , mod ;
int cnt[M] , upp[M] ;
LL c[M][M] , f[M][M] ;
inline void Clear() {
    memset(f , 0 , sizeof(f)) ;
    memset(c , 0 , sizeof(c)) ;
    memset(upp , 0 , sizeof(upp)) ;
    memset(cnt , 0 , sizeof(cnt)) ;
}
inline void Calc() {
    c[0][0] = 1 ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
        c[i][0] = 1 ;
        for(int j = 1 ; j <= i ; j ++)
          c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1])%mod ;
    }
}
int main() {
    int T = read() ;
    while(T --) {
        Clear() ;
        bool Isfalse = false ;
        n = read() ; m = read() ; mod = read() ;
        Calc() ; 
        upp[0] = n - m ;
        for(int i = 1 , x , rub ; i <= m ; i ++) {
            rub = read() , x = read() ;
            cnt[x] ++ ; 
        }
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
            upp[i] = upp[i - 1] + cnt[i] ;
            if(upp[i] < i) {
                printf("NO
") ;
                Isfalse = true ;
                break ;
            }
        }
        if(Isfalse) continue ;
        f[0][0] = 1 ;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
          for(int j = i ; j <= upp[i] ; j ++) 
            for(int k = cnt[i] ; k <= j - i + 1 ; k ++)
//  将k个人的编号设为i 
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - k] * c[upp[i] - j + k - cnt[i]][k - cnt[i]])%mod ;
        printf("YES %lld
",f[n][n]) ;
    }
    return 0 ;
}