默认大家已经会反演。
考虑一道题目：
求 (sum_{i=1}^n mu^2(i))，其中 (n leq 10^{14}).
没办法操作，考虑感性理解。
求的是 (1-n) 中无平方因子数的个数。对于每个素数 (p1)，因删去 (lfloor frac{n}{p1^2} floor) 个其平方的倍数。
然后这样也会多做。比如形如 (p1^2p2^2) 的数就被重复删了，于是我们要把这些数加回来。有点像容斥原理？
真正容斥。
对于分解质因数后有一个指数 (>1) 的数可以忽略，其对答案无贡献。可分解为形如 (prod limits_{i=1}^p p_i) 形式的，设为 (d)，则所有形如 (d^2k) 的数的个数会对答案造成影响，也就是 (lfloor frac{n}{d^2} floor). 但是是加还是减？我们要看 (p) 的奇偶性。也就是其贡献为 ((-1)^p lfloor frac{n}{d^2} floor)，具体 (p=1,2) 的情况上面也有描述。
((-1)^p = mu (d))，这才是我们最大的发现！
于是：
[sum_{i=1}^n mu^2(i) = sum_{d=1}^{sqrt{n}} mu(d) lfloor frac{n}{d^2}
floor
]
感性理解完毕（估计理性理解不了这东西吧？）
于是我们可以知道，(mu) 可以看做对整除关系的容斥。
至此就可以用 (mathcal{O}(sqrt{n})) 的时间复杂度解决问题。