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  • 线性代数笔记23——矩阵的对角化和方幂

    特征值矩阵

      假设A有n个线性无关的特征向量x1,x2……xn,这些特征向量按列组成矩阵S,S称为特征向量矩阵。来看一下A乘以S会得到什么:

      最终得到了S和一个以特征值为对角线的对角矩阵的乘积,这个对角矩阵就是特征值矩阵,用Λ表示:

      没有人关心线性相关的特征向量,上式有意义的前提是S由n个线性无关的特征向量组成,这意味着S可逆,等式两侧可以同时左乘S-1

      AS=SΛ和S-1AS=Λ就是对角化的两种方法。需要注意的是,并非所有矩阵A都存在n个线性无关的特征向量,这类矩阵不能对角化。

      矩阵对角化还有另一种表达:

      我们已经知道了矩阵的LU分解,A=LU;格拉姆-施密特正交化,A=QR;现在又多了一种对角化分解,A=SΛS-1

    矩阵的方幂

      如果A存在特征值和特征向量,即Ax = λx,那么A2的特征值和特征向量是什么?

      这在上一章的示例中出现过,将Ax = λx的等式两侧同时左乘A就可以表示A的特征向量:

      由于λ是标量,所以可以把λ单独提出来:

      现在可以得出结论了,A2的特征向量不变,特征值变成了λ2

      可以用同样的方式看看A2的对角化:

      按照这个思路可以继续计算Ak的对角化,Ak的特征向量不变,Ak的特征值矩阵是A的特征值矩阵的k次方:

      根据上式,如果k→∞,在所有特征值|λi|<0时,Ak→0,当然,前提是A有n个线性无关的特征向量。

    对角化的前提

      对角化的前提是A存在n个线性无关的特征向量,问题是怎样判断A存在n个线性无关的特征向量?一个判断方法是:当A的所有特征组互不相同时,A必然存在n个线性无关的特征向量;如果存在重复的特征值就不好说了,需要另行判断。

      n阶单位矩阵的所有特征值都是1,但是它仍然有n个线性无关的特征向量,因此单位矩阵可以对角化:

      再来看三角矩阵。三角矩阵A的各列是线性无关的,意味着它有唯一解,没有n个线性无关的特征向量,比如下面这个:

      先计算A的特征值:

      作为2×2矩阵,A只有一个特征向量,它无法完成对角化。

    使用对角化

      给定一个向量u0和一个能够对角化的矩阵A,如果uk+1=Auk,那么u100 = ?

      可以简单的向后推导一下:

      现在可以得到结论,u100=A100 u0,问题是如何求得A100

      A有n个线性无关的特征向量x1,x2,……,xn,这意味着u0可以看成这些特征向量的线性组合:

      以单位矩阵为例,假设A是3×3的单位矩阵,则A的三个特征向量是:

      这三个特征向量可以通过线性组合成为任意的三维向量。

      现在可以将Au0写成下面的形式:

      由于Ci是标量,所以可以将Ci写到前面:

      x1,x2,……,xn都是A的特征向量,它们以特征值为媒介和A存在关联,Axi = λixi,因此:

      等式两侧同时左乘A:

      同样,可以把比标量Ciλi放到前面:

      无论等式两侧再左乘几个A都将得到类似的结果,因此:

      这就是最终的答案,如果真要计算A100 u0,可以先把u0展开成特征向量的线性组合,求出具体的C值,在使用SΛ100C求解。

    综合示例

      

      a,b都是0的时候没什么可算的,主要看ab≠0的情况。C看起来比较别扭,还是用A来说话。先来看一下特征值:

      特征值矩阵和特征向量矩阵是:

     

      当a=b=-1时:


       作者:我是8位的

      出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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