[BZOJ 4025]二分图(线段树分治+带边权并查集)
题面
给出一个n个点m条边的图,每条边会在时间s到t出现,问每个时间的图是否为一个二分图
(n,m,max(t_i) leq 10^5)
分析
我们知道一个图是二分图的充要条件是图中不存在奇环。于是可以用边带权并查集维护两点间距离的奇偶性,每次加边的时候,如果新加入的边会产生一个偶环,那加不加这条边都不影响结果,直接跳过;如果加入的边会产生奇环,那么就更新答案。
考虑如何删除一条边。如果我们不路径压缩而是用按秩合并的话,那么可以通过一个栈撤销对fa数组的修改。但是每次删除都这样做是(O(n^2))的,考虑优化。
看到时间,我们就想到了离线分治算法。我们按时间分治。我们每次递归计算时间为[l,r]时的答案。我们将满足存在时间([l,r] in[s,t])的边加入,那么加入的边在([l,r])时间内一定是一直存在的。如果加入这些边的时候出现了奇环,那么时间([l,r])内的图一定不可能是二分图,直接更新([l,r])的答案然后返回。如果没有出现奇环,就递归处理[l,mid],[mid+1,r]。直到出现奇环了再回溯。回溯的时候用栈撤销处理这一个区间的时并查集上的修改操作。
由于这个递归过程类似线段树,所以叫线段树分治。对于每个区间,算上并查集的复杂度,时间复杂度为(O((r-l+1)log n)).显然最多递归(O(log n))层,每层所有的区间加起来长度为(n),总时间复杂度(O(n log ^2n))
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define maxn 100000
using namespace std;
int n,m,T;
int ans[maxn+5];
struct disjoint_set{
int fa[maxn+5];
int deep[maxn+5];
int sz[maxn+5];
void ini(int n){
for(int i=1;i<=n;i++){
fa[i]=0;
sz[i]=1;
}
}
int find(int x){
while(fa[x]!=0) x=fa[x];
return x;
}
int get_deep(int x){
int ans=0;
while(fa[x]!=0){
ans^=deep[x];
x=fa[x];
}
ans^=deep[x];
return ans;
}
int top=0;
bool check(int x,int y){
int fx=find(x),fy=find(y);
int dx=get_deep(x),dy=get_deep(y);
if(fx==fy){
if((dx^dy^1)==1) return 1;
else return 0;
}else return 0;
}
void merge(int x,int y,vector< pair<int,int> > &stk){
int fx=find(x),fy=find(y);
int dx=get_deep(x),dy=get_deep(y);
if(fx!=fy){
if(sz[fx]>sz[fy]) swap(fx,fy);
fa[fx]=fy;
deep[fx]=dx^dy^1;
sz[fy]+=sz[fx];
stk.push_back(make_pair(fx,fy));//准备撤销操作
}
}
void del(int fx,int fy){//撤销
fa[fx]=0;
deep[fx]=0;
sz[fy]-=sz[fx];
}
}S;
vector< pair<int,int> >E[maxn*4+5];//能够覆盖区间[l,r]的边
vector< pair<int,int> > stk[maxn*4+5];//分治到每个区间回滚用的栈
void update(int L,int R,pair<int,int> val,int l,int r,int pos){
if(L<=l&&R>=r){
E[pos].push_back(val);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) update(L,R,val,l,mid,pos<<1);
if(R>mid) update(L,R,val,mid+1,r,pos<<1|1);
}
void divide(int l,int r,int pos){
bool flag=0;
for(int i=0;i<(int)E[pos].size();i++){
int x=E[pos][i].first;
int y=E[pos][i].second;
if(S.check(x,y)){//存在奇环
flag=1;
for(int i=l;i<=r;i++) ans[i]=0;
break;
}
S.merge(x,y,stk[pos]);
}
int mid=(l+r)>>1;
if(l!=r&&!flag){//没有奇环,继续递归
divide(l,mid,pos<<1);
divide(mid+1,r,pos<<1|1);
}
for(int i=(int)stk[pos].size()-1;i>=0;i--){//回滚
S.del(stk[pos][i].first,stk[pos][i].second);
}
}
int main(){
int u,v,l,r;
scanf("%d %d %d",&n,&m,&T);
S.ini(n);
for(int i=1;i<=T;i++) ans[i]=1;
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d %d %d %d",&u,&v,&l,&r);
l++;
update(l,r,make_pair(u,v),1,T,1);
}
divide(1,T,1);
for(int i=1;i<=T;i++){
if(ans[i]) puts("Yes");
else puts("No");
}
}