PCA主成分分析 原理讲解 python代码实现

本文参考自：https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/13.PCA/pca.py 

https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python#%E5%85%ADpca%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90%E9%99%8D%E7%BB%B4

1. 用途：

• 通俗来说： 考察一个人的智力情况，就直接看数学成绩就行(存在：数学、语文、英语成绩) 。就是找出一个最主要的特征，然后进行分析。

• 数据压缩 （Data Compression） ，将高维数据变为低维数据。

• 可视化数据 （3D->2D等）

2. 2D-->1D，nD-->kD

• 如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是投影距离的平方和（投影误差）最小

•  

• 注意数据需要归一化处理

• 思路是找1个向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小

• 那么nD-->kD就是找k个向量，所有数据投影到上面使投影误差最小

• eg:3D-->2D,2个向量就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可

3. 降维原理（数学推导）

                                                             　　　　　　　　

 

 

 

# 归一化数据
   def featureNormalize(X):
       '''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差'''
       n = X.shape[1]
       mu = np.zeros((1,n));
       sigma = np.zeros((1,n))
       
       mu = np.mean(X,axis=0)
       sigma = np.std(X,axis=0)
       for i in range(n):
           X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
       return X,mu,sigma

Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m  # 求Sigma

（3）求​的特征值和特征向量。　　

eigVals,eigVects = np.linalg.eig(np.mat(Sigma))

　　

>>> x = np.array([3, 1, 2])
>>> np.argsort(x)
    array([1, 2, 0])  # index,1 = 1; index,2 = 2; index,0 = 3
>>> y = np.argsort(x)
>>> y[::-1]
    array([0, 2, 1])
>>> y[:-3:-1]
    array([0, 2])  # 取出 -1, -2
>>> y[:-6:-1]
    array([0, 2, 1])


 eigValInd = argsort(eigVals)
 # print 'eigValInd1=', eigValInd

 # -1表示倒序，返回topN的特征值[-1 到 -(topNfeat+1) 但是不包括-(topNfeat+1)本身的倒叙]
 eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
 # print 'eigValInd2=', eigValInd
 # 重组 eigVects 最大到最小
redEigVects = eigVects[:, eigValInd]

（5）求降维后的数值　　

 lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects