大致题意： 求(sum_{n=1}^{5 imes10^8}((sum_{i=1}^nphi(n^i))(mod n+1)))。
大力推式子
单独考虑((sum_{i=1}^nphi(n^i))(mod n+1))。
由于(phi)有一个显然的性质：
[phi(x^y)=phi(x)cdot x^{y-1}
]
所以上面的式子就可以推成：
[(phi(n)sum_{i=1}^nn^{i-1})(mod n+1)
]
又由于(nequiv-1(mod n+1))，所以上式即为：
[(phi(n)sum_{i=1}^n(-1)^{i-1})(mod n+1)
]
观察(sum_{i=1}^n(-1)^{i-1})可知，这个式子在(n)为奇数时为(1)，(n)为偶数时为(0)。
而显然(phi(n)<n<n+1)，所以最后我们要求的就是(1sim5*10^8)内所有奇数的(phi)值之和。
注意开数组
注意到一点，(5 imes10^8)的数组即使在本地也是开不下的。
怎么办？杜教筛。
好吧，实际上可以不用杜教筛。
考虑到我们只需要奇数的(phi)值，而(phi)是一个积性函数，显然我们不可能从偶数的(phi)值转移得出奇数的(phi)值，因此筛偶数是不必要的。
这样一来，对于一个奇数(x)，我们用数组第(frac{x+1}2)位去存储它，就实现了数组大小减半，开得下了。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 500000000
#define LL long long
using namespace std;
class LinearSiever//线性筛
{
private:
#define LS 250000000
#define PS 15000000
int Pt,P[PS+5];bool vis[LS+5];
public:
int phi[LS+5];//存储phi值
I void Sieve(CI S)
{
RI i,j;for(phi[1]=1,i=3;i<=S;i+=2)//与普通线性筛几乎无异，但注意下标变化
{
!vis[i+1>>1]&&(P[++Pt]=i,phi[i+1>>1]=i-1);
for(j=1;j<=Pt&&1LL*i*P[j]<=S;++j)
if(vis[i*P[j]+1>>1]=1,i%P[j]) phi[i*P[j]+1>>1]=phi[i+1>>1]*(P[j]-1);
else {phi[i*P[j]+1>>1]=phi[i+1>>1]*P[j];break;}
}
}
}L;
int main()
{
RI i;LL ans=0;for(L.Sieve(N),i=1;i<=(N+1>>1);++i) ans+=L.phi[i];//统计答案
return printf("%lld",ans),0;//输出答案
}
运行结果
50660591862310323