一道图论题
我觉得如果不是老师讲的话很难想到
（感谢老师.jpg）
首先从相似问题出发，想到了最小生成树。
可以证明次小生成树和最小生成树只有一条边不同。
//此下为不严谨的证明
如果有两条边不同，有两种情况:
（设a替换了u，b替换了v）
1.a>u&&b>v，那么与最小生成树的差距就是 (a-u+b-v) , 如果b不变，差距就是 (a-u)<(a-u+b-v)，所以这不是次小生成树。
2.a<u&&b>v，那么用a替换u以后得到的生成树更小，与条件矛盾。
所以问题转化成了选一条非树边去替换树上的边
为了保证树依然是连通的，非树边只能替换它所在环上的树边
如图（紫色的边只能代替蓝色的边）：
因为是最小生成树，所以这条非树边肯定大于等于所在环上最长的边
如果大于的话，用它去替换最长的边，否则去替换次长的边，这就需要我们记录环上的最长边和次长边
而环的答案可以转化成这样（由lca分成两条向上的路径）：
所以可以考虑倍增求最长边次长边。
big[i][j]=max(big[i][j-1],big[fa[i][j-1]][j-1]);//两个最大值 sma[i][j]=max(sma[i][j-1],sma[fa[i][j-1]][j-1]);//两个次大值 if(big[i][j-1]!=big[fa[i][j-1]][j-1]) sma[i][j]=max(sma[i][j],min(big[i][j-1],big[fa[i][j-1]][j-1]));//剩下的较小的最大值
然后用类似于lca的跳法，求出每条非树边答案，记录最小差值，最后输出 最小生成树+最小差值 即可。
复杂度为 mlog(n)
注释都在代码里了，为了清晰一些，把大部分代码放到了函数里，其实拿出来会快很多。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<string> 5 #include<cstring> 6 #define N 500005 7 using namespace std; 8 int n,m; 9 10 int h[N],tot=0; 11 struct yyy{ 12 int y,nxt,z; 13 }e[N<<1]; 14 inline void ad(int x,int y,int z){ 15 ++tot; 16 e[tot].y=y;e[tot].z=z;e[tot].nxt=h[x]; 17 h[x]=tot; 18 } 19 //建树相关 20 int f[N]; 21 struct node{ 22 int x,y,z; 23 int tag; 24 }t[N<<1]; 25 long long sumtr=0; 26 inline bool cmp(node a,node b){ 27 return a.z<b.z; 28 } 29 inline int find(int x){ 30 return f[x]==x?f[x]:f[x]=find(f[x]); 31 } 32 inline void kru(){ 33 sort(t+1,t+m+1,cmp); 34 for(int i=1;i<=m;i++){ 35 int fx=find(t[i].x); 36 int fy=find(t[i].y); 37 if(fx!=fy){ 38 f[fx]=fy; 39 t[i].tag=1;//标记树边 40 sumtr+=t[i].z;//记录大小 41 ad(t[i].x,t[i].y,t[i].z); 42 ad(t[i].y,t[i].x,t[i].z); 43 } 44 } 45 } 46 //最小生成树 47 int fa[N][25],dep[N]; 48 int big[N][25],sma[N][25];//big/sma[i][j]表示以i为起点向上2^j长度的路径的最大/次大值 49 inline void dfs(int u,int pa){ 50 for(int i=h[u];i;i=e[i].nxt){ 51 int y=e[i].y; 52 if(y!=pa){ 53 dep[y]=dep[u]+1; 54 fa[y][0]=u; 55 big[y][0]=e[i].z; 56 sma[y][0]=-1; 57 dfs(y,u); 58 } 59 } 60 } 61 inline void pre(){ 62 for(int j=1;j<=20;j++) 63 for(int i=1;i<=n;i++){ 64 fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]; 65 big[i][j]=max(big[i][j-1],big[fa[i][j-1]][j-1]); 66 sma[i][j]=max(sma[i][j-1],sma[fa[i][j-1]][j-1]); 67 if(big[i][j-1]!=big[fa[i][j-1]][j-1]) 68 sma[i][j]=max(sma[i][j],min(big[i][j-1],big[fa[i][j-1]][j-1])); 69 } 70 } 71 //预处理 （prepare) 72 inline int lca(int x,int y){ 73 if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); 74 for(int j=20;j>=0;j--) 75 if(dep[fa[x][j]]>=dep[y]) 76 x=fa[x][j]; 77 if(x==y)return x; 78 for(int j=20;j>=0;j--) 79 if(fa[x][j]!=fa[y][j]){ 80 x=fa[x][j];y=fa[y][j]; 81 } 82 return fa[x][0]; 83 } 84 inline int get(int x,int y,int z){ 85 int resin=-1; 86 for(int j=20;j>=0;j--) 87 if(dep[fa[x][j]]>=dep[y]){ 88 if(z!=big[x][j])resin=max(resin,big[x][j]);//为了保证严格次大 89 else resin=max(resin,sma[x][j]); 90 x=fa[x][j]; 91 } 92 return resin; 93 } 94 //查询相关 95 int main() 96 { 97 scanf("%d%d",&n,&m); 98 for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i; 99 for(int i=1;i<=m;i++) 100 scanf("%d%d%d",&t[i].x,&t[i].y,&t[i].z); 101 kru(); 102 dep[1]=1; 103 dfs(1,0); 104 pre(); 105 int ans=1000000000; 106 for(int i=1;i<=m;i++) 107 if(!t[i].tag){ 108 int lc=lca(t[i].x,t[i].y); 109 int res=max(get(t[i].x,lc,t[i].z),get(t[i].y,lc,t[i].z)); 110 ans=min(ans,t[i].z-res); 111 } 112 printf("%lld",sumtr+ans); 113 }
啊说的好乱
回顾一下做法：
求出最小生成树
倍增预处理big[i][j]/sma[i][j]/fa[i][j]
枚举非树边并用它去替代所在环上的最大边/次大边形成一个答案
这个过程先求出lca，把两个端点的路径断成两条向上的路径
然后用类似于lca的求法求出来答案
最后合并两条路的答案
记下所有非树边的最小答案
就A了吧