【日常训练】取数问题

Description

给出一个长度为 (n) 的序列 (a)，接下来会有 (m) 次询问。

每次询问会给出一个区间 ([l, r]) 和一个数 (x)，你的任务如下。

• 给出一种取数的方式：

  • 从区间 ([1, r - l + 1]) 等概率地选取一个数 (K)。
  • 从区间 ([l, r]) 内等概率地选取 (K) 个数。

• 你需要回答：选取的所有数都大于等于 (x) 的概率。

答案对 (998244353) 取模。

数据范围：(1 leq n, m leq 10^6)，(1 leq a_i, x leq 10^5)。
时空限制：(1000 ext{ms} / 512 ext{MiB})。

Solution

对于任意一组询问 ((l, r, x))。
我们记区间长度为 (L)，区间中大于等于 (x) 的数有 (H) 个。

那么答案为：

[frac{1}{L}sumlimits_{i = 1}limits^{H} frac{ binom{H}{i}}{ binom{L}{i}} ]

将组合数拆开，化简，再配成组合数：

[egin{aligned}frac{1}{L}sumlimits_{i = 1}^{H} frac{inom{H}{i}}{ binom{L}{i}}& = frac{1}{L}sumlimits_{i = 1}^H frac{frac{H!}{i!(H-i)!}}{frac{L!}{i!(L-i)!}} \& = frac{1}{L}sumlimits_{i = 1}^H frac{H!(L-i)!}{(H - i)!L!} \& = frac{H!}{L cdot L!}sumlimits_{i = 1}^H frac{(L - i)!}{(H - i)!} \& = frac{H!(L - H)!}{L cdot L!} sumlimits_{i = 1}^{H}frac{(L - i)!}{(H - i)!(L - H)!} \& = frac{H!(L - H)!}{L cdot L!} sumlimits_{i = 1}^{H} dbinom{L - i}{H - i}end{aligned} ]

重点在于后半段，把它写开就是：

[dbinom{L - H}{0} + dbinom{L - H + 1}{1} + dbinom{L - H + 2}{2} + cdots + dbinom{L - 1}{H - 1} ]

观察到第一项组合数的选数为 (0)，那么可以把总数调成 (L - H + 1)。
答案就可以变化为：

[dbinom{L - H + 1}{0} + dbinom{L - H + 1}{1} + dbinom{L - H + 2}{2} + cdots + dbinom{L - 1}{H - 1} ]

然后，由大家都知道的 ( binom{n}{m} = binom{n - 1}{m} + binom{n - 1}{m - 1})。
答案就可以变化为：

[dbinom{L - H + 2}{1} + dbinom{L - H + 2}{2} + cdots + dbinom{L - 1}{H - 1} ]

然后继续：

[dbinom{L - H + 3}{2} + cdots + dbinom{L - 1}{H - 1} ]

继续继续继续继续继续 ......
最后得到：

[dbinom{L}{H - 1} ]

然后原式就变化为：

[egin{aligned}frac{H!(L - H)!}{L cdot L!}dbinom{L}{H - 1}& = frac{H!(L - H)!}{L cdot L!}frac{L!}{(H - 1)!(L - H + 1)!} \& = frac{H}{L(L - H + 1)}end{aligned} ]

先预处理出 (1 sim n) 在模 (998244353) 意义下的逆元。如果知道了 (L) 和 (H) 就可以 (mathcal{O}(1)) 算出答案。

于是，对于每一组询问 ((l, r, x))。
就是要求出区间 ([l, r]) 内有多少个数大于等于 (x)。

在线的话就直接主席树。但是这题 ... 鄙人亲测会被卡。
离线的话就直接从大到小加数，用 BIT 维护。

时间复杂度 (mathcal{O}((n + m) log n))，非常的优秀。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char s = getchar();
	while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -f; s = getchar(); }
	while (s >= '0' && s <= '9') { x = x * 10 + s - '0'; s = getchar(); }
	return x * f;
}

int power(int a, int b, int p) {
	int ans = 1;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) ans = 1ll * ans * a % p;
		a = 1ll * a * a % p;
	}
	return ans;
}

const int N = 1000100;
const int SIZE = 100100;
const int mod = 998244353;

int n, m;

int a[N];
int inv[N];

struct range {
	int l, r, id;

	range() {}
	range(int A, int B, int C) : l(A), r(B), id(C) {}
};

vector<int> H[SIZE];
vector<range> attend[SIZE];

int c[N];

void add(int x, int val) {
	for (; x <= n; x += x & -x) c[x] += val;
}

int ask(int x) {
	int ans = 0;
	for (; x; x -= x & -x) ans += c[x];
	return ans;
}

int cur[N];

int main() {
	n = read(), m = read();

	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		inv[i] = power(i, mod - 2, mod);

	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		a[i] = read();

	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		H[a[i]].push_back(i);

	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		int l = read(), r = read(), x = read();
		attend[x].push_back((range) { l, r, i });
	}

	for (int x = 100000; x >= 1; x --) {
		for (int i = 0; i < (int)H[x].size(); i ++) {
			int pos = H[x][i];
			add(pos, 1);
		}

		for (int i = 0; i < (int)attend[x].size(); i ++) {
			range G = attend[x][i];

			int l = G.l, r = G.r;

			int cnt = ask(r) - ask(l - 1),
				len = r - l + 1;

			int val = cnt;
			val = 1ll * val * inv[len] % mod;
			val = 1ll * val * inv[len - cnt + 1] % mod;

			cur[G.id] = val;
		}
	}

	for (int i = 1; i <= m; i ++)
		printf("%d
", cur[i]);

	return 0;
}

此题严重暴露了我数学水平低下的弱点，中考数学是我最后的遮羞布了。