学习笔记：简单数论

数论是用来研究整数的性质的。

• 整数集 (Z: {..-2, -1, 0, 1, 2...})
• 自然数集(N:{0, 1, 2, 3,4 ...})

整除：

存在整数 (k)，使得(a = kd)，则称(d | a)（(d) 整除 (a)）。

• (d)为(a)的约数，(a)为(d)的倍数。
• 任何数都是(0)的约数。

公约数

存在一个整数(d)，使得(d | x, d | y)，则(d)为(x, y)的公约数。

最大的一个称之为最大公约数，记作(gcd(x, y))。

几个推论

1. 若(d | a, d | b)，则(d | ax + by)，其中(a, b)均为整数。
2. (gcd(xn, yn) = n * gcd(x, y))
3. 若(n | xy) 且(gcd(n, x) = 1)，则(n | y)。

gcd(a, b) 为 ax + by 的最小正整数线性组合

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证明：

设 (s) 为 (ax + by) 是最小正整数的线性组合

由之前的(2)推论可得，(s | a, s | b)，即(gcd(a, b) <= s)

① (a \% s = a - lfloor frac{a}{s} floor * s)

设(q = lfloor frac{a}{s} floor)

① = (a - q(ax + by) = a(1 - qx) + b(-qy))

因$0 <= a % s < s (。又)s$为最小正整数解

所以① (= a \% s = 0)，即(s | a)。

同理(s | b)。

所以(s <= gcd(a, b))。

由第一步的(gcd(a, b) <= s)。我们得到：

(s = gcd(a, b))

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素数定理

([1, N])中素数的个数约为(frac{N}{lgN})。则从([1, N])中人选一个数，其为质数的概率为(frac{1}{lgN})。

素数的判断

试除法：(O(sqrt{n}))

原理：约数成对出现（完全平方数除外）

算数基本定理

任意一个整数都能被分解为如下形式：

(n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_t^{k_t})。其中(p)为质数。

(t, sum_{i = 1}^{t}k_i)都是(logn)量级的。

欧拉函数

(φ(n))表示小于等于(n)中与(n)互质的数的个数

(φ(n) = nprod_{p | n}(1 - frac{1}{p})) 其中(p)为质因子。

用质因子的方法，(O(sqrt{n}))算出一个数的欧拉函数：

int phi = x;
for(int j = 2; j * j <= x; j++){
    if(x % j == 0){
    		phi = phi / j * (j - 1);
    		while(x % j == 0) x /= j; 
		}
}
if(x > 1) phi = phi / x * (x - 1);

(O(n))用线性筛([1, n])内所有(φ)值

大概长这样：

phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++){
    if(!st[i]) primes[tot++] = i, phi[i] = i - 1;
    for(int j = 0; i * primes[j] <= n; j++){
        st[primes[j] * i] = true;
        if(i % primes[j] == 0){
            phi[primes[j] * i] = primes[j] * phi[i];
            break;
        }
        phi[primes[j] * i] = (primes[j] - 1) * phi[i];
    }
}

原理：质数(p)的欧拉函数为(p - 1)。线性递推即可。

扩展欧几里得

原理：裴蜀定理

扩展欧几里得算法可以(O(loga))的时间算出：

(ax + by = gcd(a, b) (a, b > 0))的一组解。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

原理：递推

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(ax + by = b x_0 + (a \% b)y_0))

已知(a, b, x_0, y_0)，求(x, y)。

$ = b x_0 + (a - lfloor frac{a}{b} floor * b)y_0)$

$ = ay_0 + b(x_0 - lfloor frac{a}{b} floor * y_0)$

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通解

设(d = gcd(a, b))，扩展欧几里得算法求出的是(ax_0 + by_0 = d)，则：

• (x = x_0 + kfrac{b}{d})
• (y = y_0 + kfrac{a}{d})

其中(k)为任意整数。

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(x, y)的分布规律可看做一条一次函数：

正整数解：(x, y >= 0)。

若我们想正整数解（(x, y >= 0)）中(x)的最小值，只需(\% frac{b}{d})，但是(C++)中会膜成负数和(0)，所以还需要特判：

• (x = (x0 \% frac{b}{d} + frac{b}{d}) % frac{b}{d})
• (if x == 0 then x += frac{b}{d})

此时对应的(y)即正整数解范围内的(y)最大值，想判断其是否存在正整数解，只需判断对应的(y > 0)即可。

求(y)的最小值与(x)的最大值同理。

在正整数解内分布个数

先搞到(x)的最小正整数解(x0)，此时对应的(y0 = (d - ax0) / b)

那么考虑其实是可以往下等距缩，即：

(cnt = lceil y0 /frac{a}{d} ceil)

一般套路

亦或是同余方程，还是其他玩意，你可以转化为：

(ax + by = c)。

此时先把(d = ax + by = gcd(a, b))的(x, y)用扩展欧几里得算出来。

• 若(c \% d ot= 0) 无解
• 否则，把对应的(x, y)都扩大(c / d)倍，可以就按照刚才的来做啦。

(O(n))预处理([1, n])内所有数的阶乘及其逆元

因为((i!)^{-1} = frac{1}{i!} = frac{i + 1}{(i+ 1)!})

所以先把(infact_n)算出后，得到递推公式：

(infact_i = infact_{i + 1} * (i + 1))

组合数

把杨辉三角搞出来以后有一些奇怪的规律。

1. 自左上（顶端）向右下一连串的和(=)其最右端再往下一个的值

2. 一列的总和(=)最下端右下角的值