算法03---动态规划（DP）

概述

　　Dynamic programming，缩写：DP 

       通过空间换取时间的算法思想　　 　　 　　

　　通过将原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题。通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。

       用一句话解释动态规划就是 “记住你之前做过的事”，如果更准确些，其实是 “记住你之前得到的答案”。

        对于一个动态规划问题，我们只需要从两个方面考虑，那就是 找出问题之间的联系，以及 记录答案，这里的难点其实是找出问题之间的联系，记录答案只是顺带的事情，利用一些简单的数据结构就可以做到。 

典型应用场景

　　爬楼梯：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？ 

 常见解题逻辑

• 问题拆解，找到问题之间的具体联系

• 状态定义

• 递推方程推导

• 实现

　　这里面的重点其实是前两个，如果前两个步骤顺利完成，后面的递推方程推导和代码实现会变得非常简单。

　　这里还是拿 Quora 上面的例子来讲解，“1+1+1+1+1+1+1+1” 得出答案是 8，那么如何快速计算 “1+ 1+1+1+1+1+1+1+1”；

　　问题拆解：我们首先可以对这个大的问题进行拆解，这里我说的大问题是 9 个 1 相加，这个问题可以拆解成 1 + “8 个 1 相加的答案”，8 个 1 相加继续拆，可以拆解成 1 + “7 个 1 相加的答案”，… 1 + “0 个 1 相加的答案”，到这里，第一个步骤 已经完成。

　　状态定义 其实是需要思考在解决一个问题的时候我们做了什么事情，然后得出了什么样的答案，对于这个问题，当前问题的答案就是当前的状态，基于上面的问题拆解，你可以发现两个相邻的问题的联系其实是 后一个问题的答案 = 前一个问题的答案 + 1，这里，状态的每次变化就是 +1。

      递推方程： dp[i] = dp[i - 1] + 1，这里的dp[i] 记录的是当前问题的答案，也就是当前的状态，dp[i - 1] 记录的是之前相邻的问题的答案，也就是之前的状态，它们之间通过 +1 来实现状态的变更。

       实现：有了状态表示和递推方程，实现这一步上需要重点考虑的其实是初始化，就是用什么样的数据结构，根据问题的要求需要做那些初始值的设定。

public int dpExample(int n) { 
    int[] dp = new int[n + 1];  // 多开一位用来存放 0 个 1 相加的结果 
    dp[0] = 0;      
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        dp[i] = dp[i - 1] + 1;    // 递推方程 
    } 
    return dp[n];
}

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题目：爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：输入：2  输出：2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
           方法1） 1 阶 + 1 阶
           方法2）2 阶

示例 2：输入：3  输出：3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
           方法1） 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
           方法2）1 阶 + 2 阶
           方法3） 2 阶 + 1 阶

分析过程

爬楼梯，可以爬一步也可以爬两步，问有多少种不同的方式到达终点，我们按照上面提到的四个步骤进行分析：

• 问题拆解：

  我们到达第 n 个楼梯可以从第 n - 1 个楼梯和第 n - 2 个楼梯到达，因此第 n 个问题可以拆解成第 n - 1 个问题和第 n - 2 个问题，第 n - 1 个问题和第 n - 2 个问题又可以继续往下拆，直到第 0 个问题，也就是第 0 个楼梯 (起点)

• 状态定义

  “问题拆解” 中已经提到了，第 n 个楼梯会和第 n - 1 和第 n - 2 个楼梯有关联，那么具体的联系是什么呢？你可以这样思考，第 n - 1 个问题里面的答案其实是从起点到达第 n - 1 个楼梯的路径总数，n - 2 同理，从第 n - 1 个楼梯可以到达第 n 个楼梯，从第 n - 2 也可以，并且路径没有重复，因此我们可以把第 i 个状态定义为 “从起点到达第 i 个楼梯的路径总数”，状态之间的联系其实是相加的关系。

• 递推方程

  “状态定义” 中我们已经定义好了状态，也知道第 i 个状态可以由第 i - 1 个状态和第 i - 2 个状态通过相加得到，因此递推方程就出来了 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

• 实现

  你其实可以从递推方程看到，我们需要有一个初始值来方便我们计算，起始位置不需要移动 dp[0] = 0，第 1 层楼梯只能从起始位置到达，因此 dp[1] = 1，第 2 层楼梯可以从起始位置和第 1 层楼梯到达，因此 dp[2] = 2，有了这些初始值，后面就可以通过这几个初始值进行递推得到。

代码示例

public int climbStairs(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }

    int[] dp = new int[n + 1];  // 多开一位，考虑起始位置
    dp[0] = 0; 
       dp[1] = 1; 
       dp[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= n; ++i) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    return dp[n];
}