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  • 斐波那契数列

    斐波那契数列

    兔子问题:“假定一对大兔子每月能生一对小兔子,且每对新生的小兔子经过一个月可以长成一对大兔子,具备繁殖能力,如果不发生死亡,且每次均生下一雌一雄,问一年后共有多少对兔子?”

    分析:第一个月兔子没有繁殖能力,所以还是一对;两个月后生下一对兔子,共有两对;三个月后,老兔子生下一对,小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对,以此类推,可以列出下表

    表中1,1,2,3,5,8,13.....构成一个序列,这个数列有一个特点就是前两项之和等于后一项

    数学函数定义:

    ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    递归

    public static long fib(int n){
    /**
     *fib递归算法
     *时间复杂度O(N^2)
     *空间复杂度O(N)
    **/
    return n<2?Math.max(n,0):fib(n-2)+fib(n-1);
    }

    循环

    public static long fib(int n){
    /**
     *fib循环算法
     *时间复杂度O(N)
     *空间复杂度O(1)
    **/
    if(n<2)
    return Math.max(n,0);
    
    long fib1=1,fib2=0,fibN=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
    fibN=fib1+fib2;
    fib2=fib1;
    fib1=fibN;
    }
    return fibN;
    }

    通项公式

    方法一:利用特征方程(线性代数解法)
    线性递推数列的特征方程为:(具体方法就是离散数学里面的生成函数:https://www.cnblogs.com/code-fun/p/12517694.html
      
    解得 

      则

      

      
     
      解得

      
    public static long fib(int n){
    /**
     *时间复杂度O(logN)
     *空间复杂度O(1)
    **/
    return (long)(Math.pow(1+Math.sqrt(5)/2,n)-Math.pow(1-Math.sqrt(5)/2,n))/Math.sqrt(5));
    }

     参考:https://www.cnblogs.com/zkfopen/p/11245857.html

    https://jasonkayzk.github.io/2020/02/25/Fibonacci序列生成算法的优化/

    https://baike.baidu.com/item/斐波那契数列/99145?fr=aladdin

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/code-fun/p/12418549.html
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