CodeForces 258D Little Elephant and Broken Sorting(期望)

CF258D Little Elephant and Broken Sorting

题意

题意翻译

有一个(1sim n)的排列，会进行(m)次操作，操作为交换(a,b)。每次操作都有(50\%)的概率进行。

求进行(m)次操作以后的期望逆序对个数。

(n,mle 1000)

输入输出格式

输入格式：

The first line contains two integers (n) and (m) ((1leq n,mleq 1000,n>1)) — the permutation size and the number of moves. The second line contains (n) distinct integers, not exceeding (n) — the initial permutation. Next (m) lines each contain two integers: the (i)-th line contains integers (a_{i}) and (b_{i}) ((1leq a_{i},b_{i}leq n,a_{i} eq b_{i})) — the positions of elements that were changed during the (i)-th move.

输出格式：

In the only line print a single real number — the answer to the problem. The answer will be considered correct if its relative or absolute error does not exceed (10^{-6}).

输入输出样例

输入样例#1：

2 1
1 2
1 2

输出样例#1：

0.500000000

输入样例#2：

4 3
1 3 2 4
1 2
2 3
1 4

输出样例#2：

3.000000000

思路

这道题真的水。 --Mercury

完全想不到的状态设计，感谢(Mercury)巨佬的指点。

定义(f(i,j))为位置(i)上的数比位置(j)上的数大的概率。假设每次交换都是(100\%)成功的，不妨设这次交换的数的下标为(a,b)，那么对于任意的(f(i,a),f(i,b))就要被交换，(f(a,i),f(b,i))也要被交换。可是当前交换的概率是(50\%)的，所以(f(i,a),f(i,b))之间的差值要被分别减少(50\%)，也就相当于(f(i,a)=f(i,b)=(f(i,a)+f(i,b))div 2)。同理，(f(a,i)=f(b,i)=(f(a,i)+f(b,i))div 2)。最后的逆序对期望，也就是(Sigma [i<j]f(i,j) imes 1)，也就是(Sigma [i<j]f(i,j))。

还要再胡扯两句。 其实只要想出了(f(i,j))这个东西，什么都简单了，可是又会有几个人能够想到这种方法呢？完全没有类似的情况作为参考，掌握了这道题却又能给类似的题提供经验（毕竟也没有类似的题）。下一次见到了这种思维量大的题，还是不太能想得出。思维的活跃在(OI)中还是有很大的作用的啊！

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
using namespace std;
int n,m,a[1005];
double ans,f[1005][1005];
int read()
{
    RG int re=0;RG char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(RG int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(RG int i=1;i<=n;i++)
        for(RG int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[i]>a[j]) f[i][j]=1.0;
            else f[j][i]=1.0;
    while(m--)
    {
        RG int x=read(),y=read();
        if(x==y) continue;
        for(RG int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==x||i==y) continue;
            f[i][x]=f[i][y]=(f[i][x]+f[i][y])/2;
            f[x][i]=f[y][i]=(f[x][i]+f[y][i])/2;
        }
        f[x][y]=f[y][x]=0.5;
    }
    for(RG int i=1;i<=n;i++)
        for(RG int j=i+1;j<=n;j++)
            ans+=f[i][j];
    printf("%.8f",ans);
    return 0;
}