题解 P3193 【[HNOI2008]GT考试】

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Solution [HNOI2008]GT考试

题目大意：给定一段长为(m)的数(S)，求有多少个长为(n)的数不包含子串(S)

( ext{KMP})、计数、矩阵乘法

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分析：

首先由于允许前导(0)，一共有(10^n)个串。反着来，我们考虑有多少个串包含子串(S)

我们记(f(n,s))表示长为(n)，后缀最长能匹配(S)长为(s)的前缀的串个数

考虑(f(n,s))会对哪些位置产生贡献，我们枚举第(n+1)个位置为(c)

如果(S[s+1]=c)，那么(f(n,s))的值应当被累加到(f(n+1,s+1))上

如果(S[s+1] eq c)，那么我们应当用( ext{KMP})算法不断跳( ext{fail})，找到转移位置。为了便于转移，以及优化运行时间，用类似( ext{AC})自动机补全( ext{Trie})树的方法建出转移图

设补全后的转移数组为(ch)，两者可以统一

(f(n,s))会对(f(n+1,ch[s][c]))产生贡献，其中(cin[0,9])

先考虑计数，一个比较(naive)的想法是求(sum_n f(n,m))，这样会有重复计数

也就是说有可能同一个串包含子串(S)多次

不妨规定第一次包含子串(S)时计数，那么已经包含子串(S)之后，后面的所有位置都可以任取了。对于任意(s=m)的(f(n,s))，没必要将它的贡献累计到后面。

暴力算法：

求出(f(n,s)quad sin[0,m])，令(ans=ans*10+f(n,m))，对于所有(f(n,s) quad sin[0,m))进行转移，计算它对于位置(n+1)的贡献

这样是(O(n))的

可以用矩阵乘法优化

假设我们有长为(m+1)的数组(f)，表示(f(n,s)quad sin[0,m])，由上分析，我们可以用(f[m])表示答案（从(0)开始），枚举(sin[0,m),cin[0,9])，把转移矩阵第(s)行第(ch[s][c])列(+1)

最后把转移矩阵第(m)行第(m)列置为(10)（第一次包含子串(S)，后面有(k)位任取，答案要乘(10^k)），快速幂转移即可

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxm = 32;
int n,m,mod,ans,ch[maxm][10],fail[maxm];
inline int mul(int a,int b){return (1ll * a * b) % mod;}
inline int add(int a,int b){return (a + b) % mod;}
inline int sub(int a,int b){return (((a - b) % mod) + mod) % mod;}
inline int qpow(int a,int b){
	int res = 1,base = a;
	while(b){
		if(b & 1)res = mul(res,base);
		base = mul(base,base);
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
struct matrix{
	int f[maxm][maxm];
	int x,y;
	void clear(){
		memset(f,0,sizeof(f));
		x = y = 0;
	}
	matrix operator * (const matrix &rhs)const{	
		matrix res;res.clear();
		res.x = x,res.y = rhs.y;
		for(int i = 0;i < x;i++)
			for(int k = 0;k < y;k++)
				for(int j = 0;j < rhs.y;j++)
					res.f[i][j] = add(res.f[i][j],mul(f[i][k],rhs.f[k][j]));
		return res;
	}
}w,org;
inline matrix qpow(matrix base,int b){
	matrix res;res.clear();
	res.x = res.y = base.x;
	for(int i = 0;i < res.x;i++)res.f[i][i] = 1;
	while(b){
		if(b & 1)res = res * base;
		base = base * base;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
inline int idx(char c){return c - '0';} 
char str[maxm];
int main(){
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&mod);
	scanf("%s",str + 1);
	for(int u = 0;u < m;u++)
		ch[u][idx(str[u + 1])] = u + 1;
	for(int u = 1;u <= m;u++)
		for(int c = 0;c < 10;c++)
			if(ch[u][c])fail[ch[u][c]] = ch[fail[u]][c];
			else ch[u][c] = ch[fail[u]][c];
	w.x = w.y = m + 1;
	for(int s = 0;s < m;s++)
		for(int c = 0;c < 10;c++)
			w.f[s][ch[s][c]]++;
	w.f[m][m] = 10;
	org.x = 1,org.y = m + 1;
	org.f[0][0] = 1;
	org = org * qpow(w,n);
	ans = qpow(10,n);
	ans = sub(ans,org.f[0][m]);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}