二叉树

一、树

        1.定义：树是由n(n>=1)个有限结点组成一个具有层次关系的集合

        2.特点：1）每个结点有零个或多个子结点

                      2）没有父结点的为根结点

                      3）每一个非根结点只有一个父结点

        3.树的相关术语

             1）结点的度：一个结点的子结点个数

             2）叶节点：度为零的结点，也叫终端结点

             3）结点的层次：从根结点开始为1，一次往下为2....

             4）树的度：树中所有结点的度的最大值

             5）树的高度：树中结点的最大层次

二、二叉树

       1.定义：二叉树是指度不超过二的树。

       2.满二叉树：一个二叉树，每一层的结点都达到最大值，每一层节点最大值为2的k-1次方

          

         3.完全二叉树：叶结点只能出现在下层或者次下层，并且最下层的结点都集中在该层的左边

         4.二叉查找树的基本实现

              1）插入：如果当前树中没有节点，则直接把新结点作为根节点

                              如果树不为空，则从根节点开始：如果新结点的key小于当前节点的key,则继续找当前节点的左子节点（递归）

                                                                                    如果新结点的key大于当前节点的key,则继续找当前节点的右子节点（递归）

              2）查找：从根节点开始

                  如果查询的key小于当前节点的key,则继续找当前节点的左子节点（递归）

                  如果查询的key大于当前节点的key,则继续找当前节点的右子节点（递归）

                  如果查询的key等于于当前节点的key,则直接返回当前的value

              3）删除：*  先找到删除的节点

                               *  找到要删除的节点的右子树中的最小节点minNode，记录此节点并删除

                               *  然后让最小的节点minNode指向被删除节点的左子树和右子树，再让被删除的节点的父节点指向最小节点minNode

               4)  输出最小键：从根节点开始一直遍历左子树，直到没有左子树时输出当前节点的key，此结点的key为最小键

               5）输出最大键：从根节点开始一直遍历右子树，直到没有右子树时输出当前节点的key，此结点的key为最大键

               6）先序遍历:   先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。

                                     核心实现步骤：*  把根节点放入队列，队列的创建：https://www.cnblogs.com/cqyp/p/12576340.html   

                                                              *  递归遍历左子树 

                                                              *  递归遍历右子树

                7）中序遍历：先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树。

                8）后续遍历：先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点。

                9）层序遍历：从上往下，从左往右一次遍历

                                      遍历思路：首先创建一个辅助队列，让根节点E入队，判断E是否有左右子树，有则入队，一次类推，直到找完。如下图：

                      

           10）最大深度

                   递归遍历左子树和右子树，求出左右子树的深度，然后比较，大的加一则为树的深度。

public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>,Value> {
    //根节点
    private Node root;
    //树的个数
    private int N;
    public class Node{
        //存储的键
        public Key key;
        //存储的值
        public Value value;
        //记录左子节点
        public Node left;
        //记录右子节点
        public Node right;
        public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

    public BinaryTree() {
        this.root=null;
        this.N=0;
    }

    //获取树中的个数
    public int size(){
        return N;
    }
    //向树中添加一个元素key-value
    public void put(Key key,Value value){
        root=put(root,key,value);
    }
    //向指定的树x中添加一个元素key-value，并返回添加后的树
    public Node put(Node x,Key key,Value value){
        //如果x的子树为空
        if (x==null){
            N++;
            return new Node(key, value, null, null);
        }
        //如果子树不为空
        //比较x.key和key的大小
         int cmp=key.compareTo(x.key);
        //如果大于0，则继续找x的右子树
        if(cmp>0){
           x.right=put(x.right,key,value);
        }
        //如果小于0，则继续找x的左子树
        if (cmp<0){
            x.left=put(x.left,key,value);
        }else{
            //如果相等，则将此结点的value替换
            x.value=value;
        }
        N++;
        return x;
    }
    //查询树中指定key对应的value
    public Value get(Key key){

        return get(root,key);
    }
    //从指定的树x中查找key对应的值
    public Value get(Node x,Key key){
        //如果x为null
        if (x==null){
            return null;
        }
        //如果x不为null
        //比较x.key和key的大小
        int cmp=key.compareTo(x.key);
        //如果大于0，则继续找x的右子树
        if(cmp>0){
            return get(x.right,key);
        }
        //如果小于0，则继续找x的左子树
        if (cmp<0){
           return get(x.left,key);
        }else{
            //如果相等，则找到
           return x.value;
        }
    }
    //删除树中key对应的value值
    public void delete(Key key){
        root=delete(root,key);
    }
    //删除指定树x中的key对应的value,并返回删除后的新树
    public Node delete(Node x,Key key){
        if (x==null){
            return null;
        }
        //如果不为null
        //比较x.key和key的大小
        int cmp=key.compareTo(x.key);
        //如果大于0，则继续找x的右子树
        if(cmp>0){
            x.right=delete(x.right,key);
        }
        //如果小于0，则继续找x的左子树
        if (cmp<0){
            x.left=delete(x.left,key);
        }else{
            N--;
            //如果相等，则找到,删除x
            //找到右子树最小的节点
 //1.如果x的右子树为空，直接返回左子树不用找最小
            if (x.right==null){
                return x.left;
            }
            //2.如果x的左子树为空，直接返回右子树，不用找最小
            if (x.left==null){
                return x.right;
            }
            //3.如果左右子树都不为空，找最小节点
            Node minNode=x.right;
            while (minNode.left!=null){
               minNode=minNode.left;
            }
            //删除右子树的最小节点
//            Node n=x.right;
            while (n.left!=null){
               if (n.left.left==null){
                   n.left=null;
               }else{
                   n=n.left;
               }
            }
            //让x的左子树成为minNode的左子树
               minNode.left=x.left;
            //让x的右子树成为minNode的右子树
                minNode.right=x.right;
            //让x的父节点指向minNode
              x=minNode;
        }
        return x;
    }

    //查找整个树中最小的键
    public Key min(){
        return min(root).key;
    }
    //在指定树x中找出最小键所在的节点
    public Node min(Node x){
        //判断x的左子节点是否为空
        if (x.left!=null){
            return min(x.left);
        }else{
            return x;
        }
    }
    //查找整个树中最大的键
    public Key max(){
        return max(root).key;
    }
    //在指定树x中找出最大键所在的节点
    public Node max(Node x){
        //判断x的右子节点是否为空
        if (x.right!=null){
            return max(x.right);
        }else{
            return x;
        }
    }
//先序遍历
public Queue<Key> preErgodic(){
    Queue<Key> keys=new Queue<>();
     preErgodic(root,keys);
     return keys;
}
public void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
    //判断x是否为null
    if(x==null){
        return;
    }
    //把x节点的key放到队列中
    keys.insert(x.key);
    //把x的左子树递归放到队列中
    if(x.left!=null){
        preErgodic(x.left,keys);
    }
    //把x的右子树递归放到队列中
    if(x.right!=null){
        preErgodic(x.right,keys);
    }

}
//中序遍历
public Queue<Key> midErgodic(){
    Queue<Key> keys=new Queue<>();
    midErgodic(root,keys);
    return keys;
}
public void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
    if (x==null){
        return;
    }
    //递归遍历左子树并放到队列中
    if(x.left!=null){
        midErgodic(x.left,keys);
    }
    //把x放到对列中
    keys.insert(x.key);
    //把x的右子树递归放到队列中
    if(x.right!=null){
       midErgodic(x.right,keys);
    }
}
//后序遍历
public Queue<Key> hErgodic(){
    Queue<Key> keys=new Queue<>();
    hErgodic(root,keys);
    return keys;
}
public void hErgodic(Node x,Queue<Key> keys){
    if (x==null){
        return;
    }
    //递归遍历左子树并放到队列中
    if(x.left!=null){
        hErgodic(x.left,keys);
    }
    //把x的右子树递归放到队列中
    if(x.right!=null){
        hErgodic(x.right,keys);
    }
    //把x放到对列中
    keys.insert(x.key);

}
//使用层次遍历
public Queue<Key> layerErgodic(){
    //定义两个队列，分别存储节点和key值
    Queue<Node> nodes = new Queue<>();
    Queue<Key> keys=new Queue<>();
    //先把根节点放入队列nodes中
      nodes.insert(root);
    //当nodes队列不为null时从中弹出节点
    while (!nodes.isEmpty()){
        Node n = nodes.remove();
        keys.insert(n.key);
        //判断节点是否有左子节点，有，则进入nodes的队列
            if (n.left!=null){
                nodes.insert(n.left);
            }
        //判断节点是否有右子节点，有，则进入keys的队列
            if (n.right!=null){
                nodes.insert(n.right);
            }
    }
    return keys;
}
//最大深度
public int maxDepth(){
    return maxDepth(root);
}
public int maxDepth(Node x){
    if (x==null){
        return 0;
    }
    //树的最大深度
    int max=0;
    //左子树最大深度
    int maxL=0;
    //右子树最大深度
    int maxR=0;
    //计算左子树的最大深度
    if (x.left!=null){
        maxL=maxDepth(x.left);
    }
    //计算右子树的最大深度
    if (x.right!=null){
        maxR=maxDepth(x.right);
    }
    //比较左右子树的深度大小，大的加1则为树的最大深度
    max=maxL>maxR ? maxL+1 : maxR+1;
    return max;
}
}