概率dp

So you want to be a 2n-aire? 

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Mean: 

玩一个答题赢奖金的游戏，一开始有1块钱，玩n次，每次赢的概率为t~1之间的某个实数.

给定n和t，求最终能够获得奖金的最大期望值.

analyse:

假设玩家已经答对了第i题，那么当前的奖金应该为2^i.

现在开始第i+1题，是选择放弃还是答题呢？

设答第i+1题正确的概率为p，ex[i+1]表示考虑前1~i+1题最大的收益期望.

如果p*ex[i+1]>2^i，那么肯定是选择答;否则结束游戏.

由此可得，临界概率为bp=2^i/ex[i-1].

画一条[0,1]的数轴，讨论bp和t的关系.

如果t>bp，显然p*ex[i+1]>2^i成立，此时ex[i+1]=ex[i]*(1+t)/2;

否则，需要分两段来考虑：

此时：ex[i+1] = (bp-t)/(1-t) * 2^i + (1-bp)/(1-t) * (1+bp)/2 * ex[i];

Time complexity: O(N)

 

view code

/*
* -----------------------------------------------------------------
* Copyright (c) 2015 crazyacking All rights reserved.
* -----------------------------------------------------------------
*       Author: crazyacking
*       Verdict: Accepted
*       Submission Date: 2014-06-18-16.39
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#include <queue>
#include <cstdio>
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#include <string>
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#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
using namespace std;
typedef long long(LL);
typedef unsigned long long(ULL);
const double eps(1e-8);

int n=0;
double ex[30+5]= {0.0},dp[30+5]= {0.0},t=0.0,bp=0.0;
int main()
{
     dp[0]=1;
     for(int i=1; i<=30; i++)
           dp[i]=dp[i-1]*2;
     while(scanf("%d%lf",&n,&t)!=EOF&&(n>0))
     {
           ex[n]=dp[n];
           for(int i=n-1; i>=0; i--)
           {
                 bp=dp[i]/ex[i+1];
                 if(bp<=t)
                       ex[i]=(1+t)/2 * ex[i+1];
                 else
                       ex[i]=(bp-t)/(1-t) * dp[i] + (1-bp)/(1-t) * (1+bp)/2 * ex[i+1];
           }
           printf("%.3lf ",ex[0]);
     }
     return(0);
}