问题：
n个人围成一个圈，每个人分别标注为1、2、...、n，要求从1号从1开始报数，报到k的人出圈，接着下一个人又从1开始报数，如此循环，直到只剩最后一个人时，该人即为胜利者。
例如当n=10,k=4时，依次出列的人分别为4、8、2、7、3、10，9、1、6、5，则5号位置的人为胜利者。
给定n个人，请你编程计算出最后胜利者标号数。
输入：
第一行为人数n
第二行为报数k
输出：
最后胜利者标号数
输入样例：
10
4
输出样例：
5
解法：
解法分为两种，一种是模拟，可以用循环链表，也可以用数组；另一种是通过递推得出公式。
一、模拟
链表模拟
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef struct List{ 4 int data; 5 struct List *next; 6 }LinkList; 7 int main(){ 8 LinkList *L,*r,*s; 9 L = (LinkList *)malloc(sizeof(LinkList)); 10 r = L; 11 int n,i,k; 12 cin>>n>>k; 13 for(i=1;i<=n;i++){ 14 s = (LinkList *)malloc(sizeof(LinkList)); 15 s->data = i; 16 r->next = s; 17 r=s; 18 } 19 r->next = L->next;//循环链表 20 LinkList *p; 21 p=L->next; 22 while(p->next!=p){ 23 for(i=1;i<k-1;i++){ 24 p=p->next;//每k个数死一个人 25 } 26 p->next=p->next->next;//将该节点从链表上删除 27 p=p->next; 28 } 29 cout<<p->data<<endl; 30 return 0; 31 }
数组模拟
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int main(){ 4 int n,k,a[1001]; 5 cin>>n>>k; 6 int dead=0,num=0; 7 for(int i=1;i<=n;i++){ 8 a[i]=i; 9 } 10 for(int i=1;;i++){ 11 if(i>n)i=i%n;//如果大于总人数就从头开始 12 if(a[i]>0)num++;//如果当前这个人没有死，就报数 13 if(k==num&&dead!=n-1){ 14 num=0; 15 a[i]=0; 16 dead++; 17 }else if(k==num&&dead==n-1){ 18 cout<<a[i]<<endl; 19 break; 20 } 21 } 22 return 0; 23 }
二、递推
递推过程：
①第一个被删除的数为（m-1）%n;
②设第二次的开始数字为k，
做下映射：（即将数字的排列计算还是从0开始）
k--->0
k+1--->1
k+2--->2
--- ---
k-2--->n-2
此时剩下n-1个人 ，假如我们已经知道了n-1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为(x+k)%n（要注意的是这里是按照映射后的序号进行的）
其中k=m%n。
代入
（x+k）%n
<=>(x+(m%n))%n
<=>(x%n + (m%n)%n)%n
<=> (x%n+m%n)%n
<=> (x+m)%n
③第二个被删除的数为 （m-1）%n-1
④假设第三轮的开始数字为o，那这n-2个数构成的约瑟夫环为o,o+1,o+2,...,o-3,o-2。
映射
o--->0
o+1--->1
o+2--->2
--- ---
o-2--->n-3
这是一个n-2个人的问题。假设最后胜利者为y，那么n-1个人时，胜利者为(y+o)%(n-1)，其中o等于m%(n-1)。
代入可得(y+m)%(n-1)
要得到n-1个人问题的解，只需要得到n-2个人问题的解，倒退下去。只有一个人时，胜利者就是编号0.小面给出递推式：
f(1)=0;
f(i)=(f[i-1]+m)%i;(i>1)
这个公式的思想：
现在假设n=10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k=3
第一个人出列后的序列为：
0 1 3 4 5 6 7 8 9
即: 3 4 5 6 7 8 9 0 1（1式）
我们把该式转化为: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (2式)
则你会发现: （(2式)+3）%10 则转化为(1式)了 。
也就是说，我们求出9个人中第9次出环的编号，最后进行上面的转换就能得到10个人第10次出环的编号了。
设f(n,k,i)为n个人的环，报数为k，第i个人出环的编号，则f(10,3,10)是我们要的结果。
当i=1时， f(n,k,i) = (n+k-1)%n
当i!=1时， f(n,k,i)= ( f(n-1,k,i-1)+k )%n
1 #include<stdio.h> 2 int main(){ 3 int n, m,i,s=0; 4 scanf("%d%d",&n,&m); 5 for(i=2;i<=n;i++) 6 s=(s+m)%i; 7 printf("%d", s+1); 8 return 0; 9 }
说一下：
for(i=2;i<=n;i++)
s=(s+m)%i;
这个式子：
首先从2开始，因为1个人的时候报的数字的人为0号，结果已经确定了。不需要从i=0开始，要注意的是序列从0开始编号的，所以最后的输出结果也要加1。
s表示的是上一轮的结果，m代表是每多少个人出列一次，i代表当前已经出列了多少个人。
整个式子就是根据上一个的出列数和已经出列的人数来算的。