【题解】双调路径

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题目见Luogu P5530
这是一道双权值SPFA树状数组优化最短路。

算法分析

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首先，我们从题意中知道这个最短路是需要维护两个权值的。很显然，暴力枚举两种值是会`TLE`的，所以，我们需要做一些转化。**当费用确定时，时间更短的路径是更优的。** 于是，**我们借用背包`DP`的思想，把费用看作需要消耗的容量，时间看做价值。** 我们把各种状态加上一维，第一维表示结点编号，第二维表示费用，就是背包`DP`的状态，即$dis_{i,j}$，**表示在**$i$**这个结点时，当费用为**$j$**时所需最小时间**，则有： $$ dis_{i,j}=min{f_{k,i-cost_{k,i}}+time_{k,i} | edge_{k,i}} $$ 枚举每一条与$i$相连接的点$k$，从$k$结点转移到$i$结点，费用加了$cost_{k,i}$，时间加了$time_{i,j}$。**再从最短路的角度看，我们还是跑`SPFA`，在队列中存两个值：下一个结点编号与费用。**在对应的$dis$里更新。

最后，我们再统计一下答案，记一个(now) 初始(now= infty)费用不断递增，如果(dis_{t,i} < now)，即又有一条可行的路径，答案加一，(now = dis_{t,i})。

但是，这样还是不能AC。有没有什么技巧能够跑更快吗？

考虑这样的一个剪枝：对于状态(dis_{i,j})，如果(min{dis_{i,0 ightarrow j}} > f_{i,j})，则进行更新。为什么这是正确的呢？看一看(dis_{i,j})的定义：表示在(i)这个结点时，当费用为(j)时所需最小时间。如果费用增加了，时间却没有减少，走这条路显然没有之前的那条好。具体的，我们可以用树状数组维护区间([0,j])的最小值。当然线段树也行，但是我们不需要那么多的功能，并且线段树常数时间较大，这道题不适用。

代码实现

超长代码警告

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```cpp #include using namespace std; // IO优化 namespace IO { char buf[1<<15],*fs,*ft; char out[1<<28],*fe=out; inline char getc(){ return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }

template <typename T>
inline void read(T &x){
    x=0;
    bool f=false;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=true, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    if(f)
        x=-x;
    return;
}


inline void flush(){
    fwrite(out,1,fe-out,stdout);
    fe=out;
}

template <typename T>
inline void writeln(T x){
    if (!x) *fe++=48;
    if (x<0) *fe++='-', x=-x;
    T num=0, ch[20];
    while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
    while (num) *fe++=ch[num--];
    *fe++='
';
}

template <typename T>
inline void writesp(T x){
    if (!x) *fe++=48;
    if (x<0) *fe++='-', x=-x;
    T num=0, ch[20];
    while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
    while (num) *fe++=ch[num--];
    *fe++=' ';
}

}

int tot,n,m,s,t,ans;
// 树状数组类体
class BinaryIndexedTree
{
private:
int Arr[100005];
int lowbit(int x){
return x&-x;
}
public:
void modify(int pos,int val){ // 修改，维护最小值
pos++;
for(;pos<=n*100;pos+=lowbit(pos)){
Arr[pos]=min(Arr[pos],val);
}
}

int query(int pos){ // 查询最小值
    ++pos;
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(;pos;pos-=lowbit(pos)){
        ans=min(ans,Arr[pos]);
    }
    return ans;
}

void clear(){ // 清空
    memset(Arr,0x3f,sizeof(Arr));
}

};

struct Edge
{
int To,Next,Weight,Time; // 链式前向星
};

BinaryIndexedTree tree[105];
Edge e[605];
int head[105];
int dis[105][100005],vis[105][100005];

void link(int from,int to,int len,int tim){
e[++tot].To=to;
e[tot].Weight=len;
e[tot].Time=tim;
e[tot].Next=head[from];
head[from]=tot;
}

void spfa(int start){
queue<pair<int,int> > q;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
for(int i=0;i<=n;i++) tree[i].clear();
q.push(make_pair(start,0));
tree[start].modify(0,0);
dis[start][0]=0;
vis[start][0]=1;
while(!q.empty()){
int u=q.front().first,w=q.front().second;
q.pop();
vis[u][w]=0;
for(int i=head[u];i;i=e[i].Next){
int v=e[i].To,neww=w+e[i].Weight; // w：费用，neww：新的费用
if(tree[v].query(neww)>dis[u][w]+e[i].Time){ // 剪枝
dis[v][neww]=dis[u][w]+e[i].Time; // 更新
tree[v].modify(neww,dis[v][neww]);
if(!vis[v][neww]){
vis[v][neww]=1;
q.push(make_pair(v,neww));
}
}
}
}
}

int main(){
IO::read(n); IO::read(m); IO::read(s); IO::read(t);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,l,t;
IO::read(x); IO::read(y); IO::read(l); IO::read(t);
link(x,y,l,t); link(y,x,l,t);
}
spfa(s);
int now=dis[0][0];
for(int i=0;i<=n*100;i++){
if(dis[t][i]<now){
ans++;
now=dis[t][i];
}
}
IO::writeln(ans);
IO::flush();
return 0;
}

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</div>

~~然而，这份代码是不能`AC`的，因为这道题经过一些变动后，时限~~$1000ms 
ightarrow 100ms$~~，常数大的代码过不去了。~~
所以下面还有一份速度更快但~~更丑~~的代码，实测可以`AC`。QAQ~~
```cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

namespace IO
{
    char buf[1<<15],*fs,*ft;
    char out[1<<28],*fe=out;
    inline char getc(){
        return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++;
    }

    template <typename T>
    inline void read(T &x){
        x=0;
        bool f=false;
        char ch=getchar();
        while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
        if (ch=='-') f=true, ch=getchar();
        while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
        if(f)
            x=-x;
        return;
    }

    inline void flush(){
        fwrite(out,1,fe-out,stdout);
        fe=out;
    }

    template <typename T>
    inline void writeln(T x){
        if (!x) *fe++=48;
        if (x<0) *fe++='-', x=-x;
        T num=0, ch[20];
        while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
        while (num) *fe++=ch[num--];
        *fe++='
';
    }

    template <typename T>
    inline void writesp(T x){
        if (!x) *fe++=48;
        if (x<0) *fe++='-', x=-x;
        T num=0, ch[20];
        while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
        while (num) *fe++=ch[num--];
        *fe++=' ';
    }
}

const int lim = 1e4 + 5;
int nxt[605], tim[605], cost[605], edge[605], head[605];
int q[1000005][2], dis[105][lim], vis[105][lim];
int minval[105][lim];
int tot, n, m, s, t, ans;

void link(int x, int y, int c, int t) {
    nxt[++tot] = head[x];
    head[x] = tot;
    edge[tot] = y;
    tim[tot] = t;
    cost[tot] = c;
}

int query(int x, int y) {
    ++y;
    int mn = 1e7;
    for (; y; y -= (y & -y)) {
        mn = min(mn, minval[x][y]);
    }
    return mn;
}

void modify(int x, int y, int val) {
    ++y;
    for (; y <= n * 100; y += (y & -y)) {
        minval[x][y] = min(minval[x][y], val);
    }
}

void spfa() {
    memset(dis, 63, sizeof(dis));
    memset(minval, 63, sizeof(minval));
    q[1][0] = s;
    q[1][1] = 0;
    dis[s][0] = 0;
    vis[s][0] = 1;
    modify(s, 0, 0);
    for (int front = 1, back = 1; front <= back; ++front) {
        int x = q[front][0], c = q[front][1];
        vis[x][c] = 0;
        for (int i = head[x], y; y = edge[i], i; i = nxt[i]) {
            int newc = c + cost[i];
            if (query(y, newc) > dis[x][c] + tim[i]) {
                dis[y][newc] = dis[x][c] + tim[i];
                modify(y, newc, dis[y][newc]);
                if (!vis[y][newc]) {
                    vis[y][newc] = 1;
                    q[++back][0] = y;
                    q[back][1] = newc;
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    IO::read(n); IO::read(m); IO::read(s); IO::read(t);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x, y, c, t;
        IO::read(x); IO::read(y); IO::read(c); IO::read(t);
        link(x, y, c, t);
        link(y, x, c, t);
    }
    spfa();
    int now = 0x3f3f3f3f;
    for (int i = 0; i <= n * 100; ++i) {
        if (dis[t][i] < now) {
            ++ans;
            now = dis[t][i];
        }
    }
    IO::writeln(ans);
    IO::flush();
    return 0;
}

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