二项式定理与杨辉三角

问题：求(a+b)^n中各项的系数。

方法一：利用杨辉三角

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

(a+b)^1=a+b

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3b*a^2+3a*b^2+b^3

...........

两者对比可以发现，所求的系数即为杨辉三角，于是可以利用杨辉三角的性质对问题进行求解。

void solve(int n)
{
    int i,p,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            con[i][j]=con[i-1][j]+con[i-1][j-1];
        }
    }
}

但是该解法时间复杂度为n^2，只需要求第n行的系数，但实际却把前n行的系数都求出来了，因此我们考虑第二种解法，数学推导。

方法二：数学推导

已知 

这个不难理解：(a+b)ⁿ是n个括号连乘，每个括号里任选一项乘起来都会对最后的结果又一个贡献。如果选了k个a，就一定会选n-k个b，最后的项自然是a^n-kb^k。而n个a中选k个（同时也相当于n个b里选n-k个)有C^k_n，这就是组合数的定义。

可以得时间复杂度为O(n).

void solve(int n)
{
    int i,p,j;
    con[1]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
        con[i]=con[i-1]*(n-i+1)/i;
}