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  • 位操作

    相同位置

    符号

     描述

     运算规则                        by MoreWindows

    &  

     与

    两个位都为1时，结果才为1

    |  

     或

    两个位都为0时，结果才为0

    ^   

    异或

    两个位相同为0，相异为1

    ~  

    取反

    0变1，1变0

    <<

    左移

    各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0

    >>

    右移

    各二进位全部右移若干位，对无符号数，高位补0，有符号数，各编译器处理方法不一样，有的补符号位（算术右移），有的补0（逻辑右移）

     

    二． 常用位操作小技巧

    下面对位操作的一些常见应用作个总结，有判断奇偶、交换两数、变换符号及求绝对值。这些小技巧应用易记，应当熟练掌握。

    1．判断奇偶

    只要根据最未位是0还是1来决定，为0就是偶数，为1就是奇数。因此可以用if ((a & 1) == 0)代替if (a % 2 == 0)来判断a是不是偶数。

    下面程序将输出0到100之间的所有奇数。

    1. for (i = 0; i < 100; ++i)  
    2.     if (i & 1)  
    3.         printf("%d ", i);  
    4. putchar(' ');  

    2．交换两数

    一般的写法是：

    1. void Swap(int &a, int &b)  
    2. {  
    3.     if (a != b)  
    4.     {  
    5.         int c = a;  
    6.         a = b;  
    7.         b = c;  
    8.     }  
    9. }  

    可以用位操作来实现交换两数而不用第三方变量：

    1. void Swap(int &a, int &b)  
    2. {  
    3.     if (a != b)  
    4.     {  
    5.         a ^= b;  
    6.         b ^= a;  
    7.         a ^= b;  
    8.     }  
    9. }  

    可以这样理解：

    第一步  a^=b 即a=(a^b);

    第二步  b^=a 即b=b^(a^b)，由于^运算满足交换律，b^(a^b)=b^b^a。由于一个数和自己异或的结果为0并且任何数与0异或都会不变的，所以此时b被赋上了a的值。

    第三步 a^=b 就是a=a^b，由于前面二步可知a=(a^b)，b=a，所以a=a^b即a=(a^b)^a。故a会被赋上b的值。
    再来个实例说明下以加深印象。int a = 13, b = 6;

    a的二进制为 13=8+4+1=1101(二进制)

    b的二进制为 6=4+2=110(二进制)

    第一步 a^=b  a = 1101 ^ 110 = 1011;

    第二步 b^=a  b = 110 ^ 1011 = 1101;即b=13

    第三步 a^=b  a = 1011 ^ 1101 = 110;即a=6

    3．变换符号

    变换符号就是正数变成负数，负数变成正数。

    如对于-11和11，可以通过下面的变换方法将-11变成11

          1111 0101(二进制) –取反-> 0000 1010(二进制) –加1-> 0000 1011(二进制)

    同样可以这样的将11变成-11

          0000 1011(二进制) –取反-> 0000 0100(二进制) –加1-> 1111 0101(二进制)

    因此变换符号只需要取反后加1即可。完整代码如下：

    1. //by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )    
    2. #include <stdio.h>  
    3. int SignReversal(int a)  
    4. {  
    5.     return ~a + 1;  
    6. }  
    7. int main()  
    8. {  
    9.     printf("对整数变换符号 --- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  --- ");  
    10.     int a = 7, b = -12345;  
    11.     printf("%d  %d ", SignReversal(a), SignReversal(b));  
    12.     return 0;  
    13. }  

    4．求绝对值

    位操作也可以用来求绝对值，对于负数可以通过对其取反后加1来得到正数。对-6可以这样：

          1111 1010(二进制) –取反->0000 0101(二进制) -加1-> 0000 0110(二进制)

    来得到6。

    因此先移位来取符号位，int i = a >> 31;要注意如果a为正数，i等于0，为负数，i等于-1。然后对i进行判断——如果i等于0，直接返回。否之，返回~a+1。完整代码如下：

    1. //by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  
    2. int my_abs(int a)  
    3. {  
    4.     int i = a >> 31;  
    5.     return i == 0 ? a : (~a + 1);  
    6. }  

    现在再分析下。对于任何数，与0异或都会保持不变，与-1即0xFFFFFFFF异或就相当于取反。因此，a与i异或后再减i（因为i为0或-1，所以减i即是要么加0要么加1）也可以得到绝对值。所以可以对上面代码优化下：

    1. //by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  
    2. int my_abs(int a)  
    3. {  
    4.     int i = a >> 31;  
    5.     return ((a ^ i) - i);  
    6. }  

    注意这种方法没用任何判断表达式，而且有些笔面试题就要求这样做，因此建议读者记住该方法（^_^讲解过后应该是比较好记了）。

    三． 位操作与空间压缩

    筛素数法在这里不就详细介绍了，本文着重对筛素数法所使用的素数表进行优化来减小其空间占用。要压缩素数表的空间占用，可以使用位操作。下面是用筛素数法计算100以内的素数示例代码（注2）：

    1. //by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  
    2. #include <stdio.h>  
    3. #include <memory.h>  
    4. const int MAXN = 100;  
    5. bool flag[MAXN];  
    6. int primes[MAXN / 3 + 1], pi;  
    7. //对每个素数，它的倍数必定不是素数。  
    8. //有很多重复如flag[10]会在访问flag[2]和flag[5]时各访问一次  
    9. void GetPrime_1()  
    10. {  
    11.     int i, j;  
    12.     pi = 0;  
    13.     memset(flag, false, sizeof(flag));  
    14.     for (i = 2; i < MAXN; i++)  
    15.         if (!flag[i])  
    16.         {  
    17.             primes[pi++] = i;  
    18.             for (j = i; j < MAXN; j += i)  
    19.                 flag[j] = true;  
    20.         }  
    21. }  
    22. void PrintfArray()  
    23. {  
    24.     for (int i = 0; i < pi; i++)  
    25.         printf("%d ", primes[i]);  
    26.     putchar(' ');  
    27. }  
    28. int main()  
    29. {  
    30.     printf("用筛素数法求100以内的素数 -- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows ) -- ");    
    31.     GetPrime_1();  
    32.     PrintfArray();  
    33.     return 0;  
    34. }  

    运行结果如下：

    在上面程序是用bool数组来作标记的，bool型数据占1个字节（8位），因此用位操作来压缩下空间占用将会使空间的占用减少八分之七。

    下面考虑下如何在数组中对指定位置置1，先考虑如何对一个整数在指定位置上置1。对于一个整数可以通过将1向左移位后与其相或来达到在指定位上置1的效果，代码如下所示：

    1. //在一个数指定位上置1  
    2. int j = 0;  
    3. j |=  1 << 10;  
    4. printf("%d ", j);  

    同样，可以1向左移位后与原数相与来判断指定位上是0还是1（也可以将原数右移若干位再与1相与）。

    1.    //判断指定位上是0还是1  
    2. int j = 1 << 10;  
    3. if ((j & (1 << 10)) != 0)  
    4.     printf("指定位上为1");  
    5. else  
    6.     printf("指定位上为0");  

    扩展到数组上，我们可以采用这种方法，因为数组在内存上也是连续分配的一段空间，完全可以“认为”是一个很长的整数。先写一份测试代码，看看如何在数组中使用位操作：

    1. //by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )    
    2. #include <stdio.h>  
    3. int main()  
    4. {  
    5.     printf("     对数组中指定位置上置位和判断该位 ");  
    6.     printf("--- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  --- ");  
    7.     //在数组中在指定的位置上写1  
    8.     int b[5] = {0};  
    9.     int i;  
    10.     //在第i个位置上写1  
    11.     for (i = 0; i < 40; i += 3)  
    12.         b[i / 32] |= (1 << (i % 32));  
    13.     //输出整个bitset  
    14.     for (i = 0; i < 40; i++)  
    15.     {  
    16.         if ((b[i / 32] >> (i % 32)) & 1)  
    17.             putchar('1');  
    18.         else   
    19.             putchar('0');  
    20.     }  
    21.     putchar(' ');  
    22.     return 0;  
    23. }  

    运行结果如下：

    可以看出该数组每3个就置成了1，证明我们上面对数组进行位操作的方法是正确的。因此可以将上面筛素数方法改成使用位操作压缩后的筛素数方法：

    1. //使用位操作压缩后的筛素数方法  
    2. //by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )   
    3. #include <stdio.h>  
    4. #include <memory.h>  
    5. const int MAXN = 100;  
    6. int flag[MAXN / 32 + 1];  
    7. int primes[MAXN / 3 + 1], pi;  
    8. void GetPrime_1()  
    9. {  
    10.     int i, j;  
    11.     pi = 0;  
    12.     memset(flag, 0, sizeof(flag));  
    13.     for (i = 2; i < MAXN; i++)  
    14.         if (!((flag[i / 32] >> (i % 32)) & 1))  
    15.         {  
    16.             primes[pi++] = i;  
    17.             for (j = i; j < MAXN; j += i)  
    18.                 flag[j / 32] |= (1 << (j % 32));  
    19.         }  
    20. }  
    21. void PrintfArray()  
    22. {  
    23.     for (int i = 0; i < pi; i++)  
    24.         printf("%d ", primes[i]);  
    25.     putchar(' ');  
    26. }  
    27. int main()  
    28. {  
    29.     printf("用位操作压缩后筛素数法求100以内的素数 -- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows ) -- ");    
    30.     GetPrime_1();  
    31.     PrintfArray();  
    32.     return 0;  
    33. }  

    同样运行结果为：

    另外，还可以使用C++ STL中的bitset类来作素数表。筛素数方法在笔试面试出现的几率还是比较大的，能写出用位操作压缩后的筛素数方法无疑将会使你的代码脱颖而出，因此强烈建议读者自己亲自动手实现一遍，平时多努力，考试才不慌。

    位操作的压缩空间技巧也被用于strtok函数的实现，请参考《strtok源码剖析 位操作与空间压缩》（http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/8740315）

    四． 位操作的趣味应用

    位操作有很有趣的应用，下面列举出一些，欢迎读者补充。

    1．  高低位交换

    给出一个16位的无符号整数。称这个二进制数的前8位为“高位”，后8位为“低位”。现在写一程序将它的高低位交换。例如，数34520用二进制表示为：

          10000110 11011000

    将它的高低位进行交换，我们得到了一个新的二进制数：

          11011000 10000110

    它即是十进制的55430。

    这个问题用位操作解决起来非常方便，设x=34520=10000110 11011000(二进制) 由于x为无符号数，右移时会执行逻辑右移即高位补0，因此x右移8位将得到0000000010000110。而x左移8位将得到11011000 00000000。可以发现只要将x>>8与x<<8这两个数相或就可以得到11011000 10000110。用代码实现非常简洁：

    1. //高低位交换 by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )    
    2. #include <stdio.h>  
    3. template <class T>  
    4. void PrintfBinary(T a)  
    5. {  
    6.     int i;  
    7.     for (i = sizeof(a) * 8 - 1; i >= 0; --i)  
    8.     {  
    9.         if ((a >> i) & 1)  
    10.             putchar('1');  
    11.         else   
    12.             putchar('0');  
    13.         if (i == 8)  
    14.             putchar(' ');  
    15.     }  
    16.     putchar(' ');  
    17. }  
    18. int main()  
    19. {  
    20.     printf("高低位交换 --- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  --- ");  
    21.   
    22.     printf("交换前:    ");  
    23.     unsigned short a = 3344520;  
    24.     PrintfBinary(a);  
    25.   
    26.     printf("交换后:    ");  
    27.     a = (a >> 8) | (a << 8);  
    28.     PrintfBinary(a);  
    29.     return 0;  
    30. }  

    运行结果如下：

    2．  二进制逆序

    我们知道如何对字符串求逆序，现在要求计算二进制的逆序，如数34520用二进制表示为：

          10000110 11011000

    将它逆序，我们得到了一个新的二进制数：

          00011011 01100001

    它即是十进制的7009。

        回顾下字符串的逆序，可以从字符串的首尾开始，依次交换两端的数据。在二进制逆序我们也可以用这种方法，但运用位操作的高低位交换来处理二进制逆序将会得到更简洁的方法。类似于归并排序的分组处理，可以通过下面4步得到16位数据的二进制逆序：

    第一步：每2位为一组，组内高低位交换

          10 00 01 10  11 01 10 00

      -->01 00 10 01 11 10 01 00

    第二步：每4位为一组，组内高低位交换

          0100 1001 1110 0100

      -->0001 0110 1011 0001

    第三步：每8位为一组，组内高低位交换

          00010110 10110001

      -->01100001 00011011

    第四步：每16位为一组，组内高低位交换

          01100001 00011011

      -->00011011 01100001

    对第一步，可以依次取出每2位作一组，再组内高低位交换，这样有点麻烦，下面介绍一种非常有技巧的方法。先分别取10000110 11011000的奇数位和偶数位，空位以下划线表示。

          原 数    10000110 11011000

          奇数位 1_0_0_1_ 1_0_1_0_

          偶数位  _0_0_1_0 _1_1_0_0

    将下划线用0填充，可得

          原 数    10000110 11011000

          奇数位 10000010 10001000

          偶数位 00000100 01010000

    再将奇数位右移一位，偶数位左移一位，此时将这两个数据相或即可以达到奇偶位上数据交换的效果了。

          原 数           10000110 11011000

          奇数位右移 01000001 01000100  

          偶数位左移 00001000 10100000

          相或得到      01001001 11100100

    可以看出，结果完全达到了奇偶位的数据交换，再来考虑代码的实现——

          取x的奇数位并将偶数位用0填充用代码实现就是x & 0xAAAA

          取x的偶数位并将奇数位用0填充用代码实现就是x & 0x5555

    因此，第一步就用代码实现就是：

           x = ((x & 0xAAAA) >> 1) | ((x & 0x5555) << 1);

    类似可以得到后三步的代码。完整程序如下：

    1. //二进制逆序 by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )    
    2. #include <stdio.h>  
    3. template <class T>  
    4. void PrintfBinary(T a)  
    5. {  
    6.     int i;  
    7.     for (i = sizeof(a) * 8 - 1; i >= 0; --i)  
    8.     {  
    9.         if ((a >> i) & 1)  
    10.             putchar('1');  
    11.         else   
    12.             putchar('0');  
    13.         if (i == 8)  
    14.             putchar(' ');  
    15.     }  
    16.     putchar(' ');  
    17. }  
    18. int main()  
    19. {  
    20.     printf("二进制逆序 --- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  --- ");  
    21.   
    22.     printf("逆序前:    ");  
    23.     unsigned short a = 34520;  
    24.     PrintfBinary(a);  
    25.   
    26.     printf("逆序后:    ");   
    27.     a = ((a & 0xAAAA) >> 1) | ((a & 0x5555) << 1);  
    28.     a = ((a & 0xCCCC) >> 2) | ((a & 0x3333) << 2);  
    29.     a = ((a & 0xF0F0) >> 4) | ((a & 0x0F0F) << 4);  
    30.     a = ((a & 0xFF00) >> 8) | ((a & 0x00FF) << 8);  
    31.     PrintfBinary(a);  
    32. }  

    运行结果如下：

    3．  二进制中1的个数

    统计二进制中1的个数可以直接移位再判断，当然像《编程之美》书中用循环移位计数或先打一个表再计算都可以。本文详细讲解一种高效的方法。以34520为例，可以通过下面四步来计算其二进制中1的个数二进制中1的个数。

    第一步：每2位为一组，组内高低位相加

          10 00 01 10  11 01 10 00

      -->01 00 01 01  10 01 01 00

    第二步：每4位为一组，组内高低位相加

          0100 0101 1001 0100

      -->0001 0010 0011 0001

    第三步：每8位为一组，组内高低位相加

          00010010 00110001

      -->00000011 00000100

    第四步：每16位为一组，组内高低位相加

          00000011 00000100

      -->00000000 00000111

    这样最后得到的00000000 00000111即7即34520二进制中1的个数。类似上文中对二进制逆序的做法不难实现第一步的代码：

           x = ((x & 0xAAAA) >> 1) + (x & 0x5555);

    好的，有了第一步，后面几步就请读者完成下吧，先动动笔再看下面的完整代码：

    1. //二进制中1的个数  by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )   
    2. #include <stdio.h>  
    3. template <class T>  
    4. void PrintfBinary(T a)  
    5. {  
    6.     int i;  
    7.     for (i = sizeof(a) * 8 - 1; i >= 0; --i)  
    8.     {  
    9.         if ((a >> i) & 1)  
    10.             putchar('1');  
    11.         else   
    12.             putchar('0');  
    13.         if (i == 8)  
    14.             putchar(' ');  
    15.     }  
    16.     putchar(' ');  
    17. }  
    18. int main()  
    19. {  
    20.     printf("二进制中1的个数 --- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  --- ");  
    21.       
    22.     unsigned short a = 34520;  
    23.     printf("原数    %6d的二进制为:  ", a);  
    24.     PrintfBinary(a);  
    25.       
    26.     a = ((a & 0xAAAA) >> 1) + (a & 0x5555);  
    27.     a = ((a & 0xCCCC) >> 2) + (a & 0x3333);  
    28.     a = ((a & 0xF0F0) >> 4) + (a & 0x0F0F);  
    29.     a = ((a & 0xFF00) >> 8) + (a & 0x00FF);     
    30.     printf("计算结果%6d的二进制为:  ", a);     
    31.     PrintfBinary(a);  
    32.     return 0;  
    33. }  

    运行结果如下：

    可以发现巧妙运用分组处理确实是解决很多二进制问题的灵丹妙药。

    4．  缺失的数字

    很多成对出现数字保存在磁盘文件中，注意成对的数字不一定是相邻的，如2, 3, 4, 3, 4, 2……，由于意外有一个数字消失了，如何尽快的找到是哪个数字消失了？

    由于有一个数字消失了，那必定有一个数只出现一次而且其它数字都出现了偶数次。用搜索来做就没必要了，利用异或运算的两个特性——1.自己与自己异或结果为0，2.异或满足交换律。因此我们将这些数字全异或一遍，结果就一定是那个仅出现一个的那个数。 示例代码如下：

    1. //缺失的数字  by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )   
    2. #include <stdio.h>  
    3. int main()  
    4. {  
    5.     printf("缺失的数字 --- by MoreWindows( http://blog.csdn.net/MoreWindows )  --- ");  
    6.       
    7.     const int MAXN = 15;  
    8.     int a[MAXN] = {1, 347, 6, 9, 13, 65, 889, 712, 889, 347, 1, 9, 65, 13, 712};  
    9.     int lostNum = 0;  
    10.     for (int i = 0; i < MAXN; i++)  
    11.         lostNum ^= a[i];  
    12.     printf("缺失的数字为:  %d ", lostNum);     
    13.     return 0;  
    14. }  

    在这个题目中有一个数字丢失了，如果有两个数字丢失了应该怎么做了，请看《【白话经典算法系列之十二】数组中只出现1次的两个数字(百度面试题)》 

    地址：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/8214003

    位操作是一种高效优美的方法，同时由于其高效的运算性能和掌握难度较大，位操作运算一直是笔试面试时的热门话题之一。本文详细总结了位操作的方法与技巧并列出4种位操作趣味应用，如果读者能亲自上机实现代码，相信必能更好应对笔试和面试时可能遇到的位操作问题。

    另外，欢迎各位能提供笔试面试中的位操作相关的题目给我，我将会在提高篇中加入这些。谢谢大家。

    注1．int类型一般占4字节，32位。因此15准确表达为

    15=00000000 00000000 00000000 00001111(二进制)

    -15准确表达为

    -15=11111111 11111111 11111111 11110001(二进制)

    为了简便起见，文章中使用15=00001111(二进制)，-15=11110001(二进制)。

    位运算应用口诀；

    清零取反要用与，某位置一可用或；若要取反和交换，轻轻松松用异或；

    移位运算；要点1   它们都是双目运算符，两个运算分量都是整形，；

    2"<<"左移：；

    3">>"右移：；

    4">>>"；

    位运算符的应用(源操作数s掩码mask)；(1)按位与--&；

    位运算应用口诀

    清零取反要用与，某位置一可用或

    若要取反和交换，轻轻松松用异或

    移位运算

    要点 1 它们都是双目运算符，两个运算分量都是整形，结果也是整形。

    2 " < <" 左移：右边空出的位上补0，左边的位将从字头挤掉，其值相当于乘2。

    3 ">>"右移：右边的位被挤掉。对于左边移出的空位，如果是正数则空位补0，若为负数，可能补0或补1，这取决于所用的计算机系统。

    4 ">>>"运算符，右边的位被挤掉，对于左边移出的空位一概补上0。

    位运算符的应用 (源操作数s 掩码mask)

    (1) 按位与-- &

    1 清零特定位 (mask中特定位置0，其它位为1，s=s&mask)

    2 取某数中指定位 (mask中特定位置1，其它位为0，s=s&mask)

    (2) 按位或-- |

    常用来将源操作数某些位置1，其它位不变。 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s |mask)

    (3) 位异或-- ^

    1 使特定位的值取反 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s^mask)

    2 不引入第三变量，交换两个变量的值 (设 a=a1,b=b1)

    目 标 操 作 操作后状态

    a=a1^b1 a=a^b a=a1^b1,b=b1

    b=a1^b1^b1 b=a^b a=a1^b1,b=a1

    a=b1^a1^a1 a=a^b a=b1,b=a1

    二进制补码运算公式：

    -x = ~x + 1 = ~(x-1)

    ~x = -x-1

    -(~x) = x+1

    ~(-x) = x-1

    x+y = x - ~y - 1 = (x |y)+(x&y)

    x-y = x + ~y + 1 = (x |~y)-(~x&y)

    x^y = (x |y)-(x&y)

    x |y = (x&~y)+y

    x&y = (~x |y)-~x

    x==y: ~(x-y |y-x)

    x!=y: x-y |y-x

    x < y: (x-y)^((x^y)&((x-y)^x))

    x <=y: (x |~y)&((x^y) |~(y-x))

    x < y: (~x&y) |((~x |y)&(x-y))//无符号x,y比较

    x <=y: (~x |y)&((x^y) |~(y-x))//无符号x,y比较

    应用举例

    (1) 判断int型变量a是奇数还是偶数

    a&1 = 0 偶数

    a&1 = 1 奇数

    (2) 取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))，即a>>k&1

    (3) 将int型变量a的第k位清0，即a=a&~(1 < <k)

    (4) 将int型变量a的第k位置1， 即a=a |(1 < <k)

    (5) int型变量循环左移k次，即a=a < <k |a>>16-k (设sizeof(int)=16)

    (6) int型变量a循环右移k次，即a=a>>k |a < <16-k (设sizeof(int)=16)

    (7)整数的平均值

    对于两个整数x,y，如果用 (x+y)/2 求平均值，会产生溢出，因为 x+y 可能会大于INT_MAX，但是我们知道它们的平均值是肯定不会溢出的，我们用如下算法：

    int average(int x, int y) //返回X,Y 的平均值

    {

    return (x&y)+((x^y)>>1);

    }

    (8)判断一个整数是不是2的幂,对于一个数 x >= 0，判断他是不是2的幂

    boolean power2(int x)

    {

    return ((x&(x-1))==0)&&(x!=0)；

    }

    (9)不用temp交换两个整数

    void swap(int x , int y)

    {

    x ^= y;

    y ^= x;

    x ^= y;

    }

    (10)计算绝对值

    int abs( int x )

    {

    int y ;

    y = x >> 31 ;

    return (x^y)-y ; //or: (x+y)^y

    }

    (11)取模运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

    a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)

    (12)乘法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

    a * (2^n) 等价于 a < < n

    (13)除法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

    a / (2^n) 等价于 a>> n

    例: 12/8 == 12>>3

    (14) a % 2 等价于 a & 1

    (15) if (x == a) x= b;

    else x= a;

    等价于 x= a ^ b ^ x;

    (16) x 的 相反数 表示为 (~x+1)

    实例

    功能 | 示例 | 位运算

    去掉最后一位 | (101101->10110) | x >> 1

    在最后加一个0 | (101101->1011010) | x < < 1

    在最后加一个1 | (101101->1011011) | x < < 1+1

    把最后一位变成1 | (101100->101101) | x | 1

    把最后一位变成0 | (101101->101100) | x | 1-1

    最后一位取反 | (101101->101100) | x ^ 1

    把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x | (1 < < (k-1)) 

    把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x & ~ (1 < < (k-1)) 

    右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x ^ (1 < < (k-1)) 

    取末三位 | (1101101->101) | x & 7

    取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x & ((1 < < k)-1)

    取右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x >> (k-1) & 1

    把末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x | (1 < < k-1) 

    末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x ^ (1 < < k-1)

    把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x & (x+1) 

    把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x | (x+1) 

    把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x | (x-1) 

    取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x ^ (x+1)) >> 1

    去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x & (x ^ (x-1)) 

    判断奇数 (x&1)==1

    判断偶数 (x&1)==0

    判断是否只有一个1: n & (n-1) == 0

    例如求从x位（高）到y位（低）间共有多少个1

    public static int FindChessNum(int x, int y, ushort k)

    {

    int re = 0;

    for (int i = y; i <= x; i++)

    {

    re += ((k >> (i - 1)) & 1);

    }

    return re;

    }

    C语言中的“>>”和“<<”

    “>>”和“<<”的具体用法是什么？拜托各位给回复一下。

    位运算 理解了二进制，位运算都是很容易理解的。位运算<<代表左移，a << b等

    价于a ∗ 2 b 。因此经常用1 << x来表示2x。>>代表右移，经常用x >>1来代替x/2

    先说左移,左移就是把一个数的所有位都向左移动若干位,在C中用<<运算符.例如:

    　　int i = 1;

    　　i = i << 2; //把i里的值左移2位

    也就是说,1的2进制是000...0001(这里1前面0的个数和int的位数有关,32位机器,gcc里有31个0),左移2位之后变成 000...0100,也就是10进制的4,所以说左移1位相当于乘以2,那么左移n位就是乘以2的n次方了(有符号数不完全适用,因为左移有可能导致符号变化,下面解释原因)

    　　需要注意的一个问题是int类型最左端的符号位和移位移出去的情况.我们知道,int是有符号的整形数,最左端的1位是符号位,即0正1负,那么移位的时候就会出现溢出,例如:

    　　int i = 0x40000000; //16进制的40000000,为2进制的01000000...0000

    　　i = i << 1;

    　　那么,i在左移1位之后就会变成0x80000000,也就是2进制的100000...0000,符号位被置1,其他位全是0,变成了int类型所能表示的最小值,32位的int这个值是-2147483648,溢出.如果再接着把i左移1位会出现什么情况呢?在C语言中采用了丢弃最高位的处理方法,丢弃了1之后,i的值变成了0.

    　　左移里一个比较特殊的情况是当左移的位数超过该数值类型的最大位数时,编译器会用左移的位数去模类型的最大位数,然后按余数进行移位,如:

    　　int i = 1, j = 0x80000000; //设int为32位

    　　i = i << 33; // 33 % 32 = 1 左移1位,i变成2

    　　j = j << 33; // 33 % 32 = 1 左移1位,j变成0,最高位被丢弃

    　　在用gcc编译这段程序的时候编译器会给出一个warning,说左移位数>=类型长度.那么实际上i,j移动的就是1位,也就是33%32后的余数.在gcc下是这个规则,别的编译器是不是都一样现在还不清楚.

    　　总之左移就是: 丢弃最高位,0补最低位

    　　再说右移,明白了左移的道理,那么右移就比较好理解了.

    　　右移的概念和左移相反,就是往右边挪动若干位,运算符是>>.

    　　右移对符号位的处理和左移不同,对于有符号整数来说,比如int类型,右移会保持符号位不变,例如:

    　　int i = 0x80000000;

    　　i = i >> 1; //i的值不会变成0x40000000,而会变成0xc0000000

    　　就是说,符号位向右移动后,正数的话补0,负数补1,也就是汇编语言中的算术右移.同样当移动的位数超过类型的长度时,会取余数,然后移动余数个位.

    　　负数10100110 >>5(假设字长为8位)，则得到的是 11111101

    　　总之,在C中,左移是逻辑/算术左移(两者完全相同),右移是算术右移,会保持符号位不变.实际应用中可以根据情况用左/右移做快速的乘/除运算,这样会比循环效率高很多.

    　　例:C语言中左移<<表示乘以2，右移>>表示除以2，这是由计算机工作原理导致的！但是要是7，二进制数为0111，右移一位得3.5，但是右移之后二进制数变成0011，是3。不一样啊，怎模解释呢？？

    移位操作符的两个操作数必须是整型的。整个移位表达式的值的类型也是整型的，而且，左移位操作符与右移位操作符的运算并不对称。0111右移一位是把最后一位的1去掉，左边补个0，得0011，转换为十进制是3，这是正确的。并不等同于除以2 。

    梦里不知身是客，一晌贪欢。
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