回溯法的应用举例

子集合问题

　　求集合S的所有子集合（不包括空集），可以按照框架一的算法写代码。

#include<iostream>
using namespace std;
int s[4]={3,5,7,9};
int x[4];
int N=4;

void print() {
    for(int j=0;j<N;j++)
     if(x[j]==1) 
         cout<<s[j]<<" ";
     cout<<endl;
}

void SubSet(int i) {
    if(i>=N) {
        print();
        return;
    }
    x[i]=1;
    SubSet(i+1);
    x[i]=0;
    SubSet(i+1);
}
int main() {
    cout<<"数组的子集合为： "<<endl;
    SubSet(0); 
    return 0;
}

在此基础上，求解有条件限制的子集合问题，例如，整数集合s和一个整数sum，求集合s的所有子集su，使得su的元素之和等于sum。

#include <stdio.h>
int flag,sum=0;
int *s, *x, n,c;


void backtrack(int t)
{
    int i;
    if(t==n)
    {
        if(sum==c)
        {
            flag=1;
            for(i=0;i<n;i++)
                if(x[i])
                    printf("%3d",s[i]);

            printf("
");
            return;
        }
    }
    else
    {
        sum+=s[t];
        x[t]=1;
        backtrack(t+1);
        x[t]=0;
        sum-=s[t];
        backtrack(t+1);
    }
}

int main()
{

    int i;

    scanf("%d%d",&n,&c);
    s=new int [n];
    x=new int[n];

    for(i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&s[i]);
        x[i]=0;
    }

    backtrack(0);

    if(flag)
        printf("yes");
    else 
        printf("no");

    return 0;
}

相关资料可以看子集和问题 

回溯法解决子集和问题http://blog.sina.com.cn/s/blog_7865b083010100dd.html

 

全排列问题

　　求一个集合元素的全排列，可以按照框架二写出代码

#include<iostream>
using namespace std;
int a[4]={3,5,7,9};
const int N=4;

void print() {
    for(int i=0;i<N;i++)
        cout<<a[i]<<" ";
    cout<<endl;
}

void swap(int *a,int i,int j) {
    int temp;
    temp=a[i];
    a[i]=a[j];
    a[j]=temp;
}

void backtrack(int i) {
    if(i>=N) {
        print();
    }
    for(int j=i;j<N;j++) {
        swap(a,i,j);
        backtrack(i+1);
        swap(a,i,j);
    }
}

int main() {
    cout<<"所有组合为： "<<endl;
    backtrack(0); 
    return 0;
}

八皇后问题

　(1)定义问题的解空间。这个问题解空间就是8个皇后在棋盘上的位置、

　(2)定义解空间的结构。可以使用8*8的数组，但由于任意两个皇后都不能再同行，可以用数组下标表示行，数组的值来表示数组的列，可以简化为一个一维数组x[9]；

　(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程使用剪枝函数来剪枝。根据条件x[i]==x[k]判断处于同一列，abs(k-i)==abs(x[k]-x[i])判断是否处于同一斜线，剪枝函数如下：

bool canPlace(int k) {
    for(int i=1;i<k;i++) {
        if(x[i]==x[k] || abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))    return false;
    }
    return true;
}

　　按照回溯框架一，八皇后回溯代码如下：

void queue(int i) {
    if(i>8) {
        print();
        return;
    }
    for(int j=1;j<=8;j++) {
        x[i]=j;//记录所放的列 
        if(calPlace(i)) queue(i+1);
    }
}

完整代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int x[9];
int count=1;
void print() {
    cout<<count<<":";
    for(int i=1;i<=8;i++) 
        cout<<x[i]<<" ";
    cout<<endl;
    count++;
    
}

bool canPlace(int k) {
    for(int i=1;i<k;i++) {
        if(x[i]==x[k] || abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))    return false;
    }
    return true;
}

void queue(int i) {
    if(i>8) {
        print();
        return;
    }
    for(int j=1;j<=8;j++) {
        x[i]=j;//记录所放的列 
        if(canPlace(i)) queue(i+1);
    }
}
int main() {
    queue(1); 
    return 0;
}

简单方法解决八皇后问题

0-1背包问题

　　问题：给定n种物品和一背包。物品i的重点是Wi，其价值是ui，背包的容量是C。如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大、

　　0-1背包是子集合选取问题，问题分析步骤如下：

　　（1）确定解空间。即确定装入何种物品、

　　（2）确定易于搜索的解空间结构。可以用数组p，w分别表示各个物品价值和重量。

　　用数组x记录，是否选中物品。

　　（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索的过程中剪枝。

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