势能分析（splay分析）

定义

第(x)次操作后，势能为(phi(x))，该操作实际复杂度(c(x))，均摊复杂度(a(x))。

定义(a(x)=c(x)+phi(x)-phi(x-1))。

那么总复杂度为$phi(n)-phi(0)+sum c(x) $。

简单应用

Q：对于一个初始为0的二进制数，每次+1，求n次操作复杂度。

A：定义(phi(x))为(i)次操作后1的个数，对于一次+1 ，1个0->1，x个1->0，那么(a(x)= (1+x) + (1-x)=2)，则总复杂度(o(n))，常数2。

splay分析

定义x节点的势能为(chi(x)=log(size(x)))（size表示子树大小）。

那么(phi(n)-phi(0) leq n log(n))。

双旋分三种情况（y=fa[x]，z=fa[y]）：

1. y为根
2. x,y,z同一条直线
3. x,y,z不为同一条直线

（弄错了不想改...祖孙关系以图为准）

对于1：

[c(x)=1+ chi(x^{'})+chi(y^{'})-chi(x)-chi(y)=1+chi(y^{'})-chi(y) ]

对于2：

[c(x)=2+chi(x^{'})+chi(y^{'})+chi(z^{'})-chi(x)-chi(y)-chi(z) ]

[c(x)=2+chi(x^{'})+chi(y^{'})-chi(y)-chi(z) leq 2+chi(z^{'})+chi(x^{'})-2chi(z) ]

而

[chi(x^{'})+chi(z)-2chi(z^{'})=log({(size(2+1)+1) imes（size(3+4)+1）over {(3+size(3+4+2+1))}^2}) leq log( {1 over 4})=-2 ]

那么

(c(x)leq 2+chi(z^{'})+chi(x^{'})-2chi(z) leq 3(chi(z^{'})-chi(z)))

对于3：

[c(x)=2+chi(x^{'})+chi(y^{'})+chi(z^{'})-chi(x)-chi(y)-chi(z) ]

[c(x)=2+chi(x^{'})+chi(y^{'})-chi(y)-chi(z) leq 2+chi(x^{'})+chi(y^{'})-2chi(z) ]

而

[2chi(z^{'})-chi(x^{'})-chi(y^{'})=log({(size(1+3+4+2)+3)^2 over{(size(1+3)+1) imes (size(4+2)+1)}}) geq 2 ]

故

[c(x) leq 2(chi(z^{'})-chi(z)) ]

综上

可以把((chi(z^{'})-chi(z)))的常数都看为3。

一次splay复杂度为(3 (chi(root)-chi(z))+1 leq 3 log(n)+1)。

然后这个还要乘上rotate的常数。

不过在实际应用下，可以认为常数为8。