洛谷P1636 Einstein学画画

此题考查以一笔画知识延伸出得欧拉(半)图问题，具体解决方法：

1、如果不考虑连通性的话，因为此题的背景为无向图，因此只需判断奇点数量，当奇点数量为0/2时，可以直接输出1，否则ans=奇点数量/2

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>//万能头文件大法好 
using namespace std;
int a[10001];    
int n,m,ans;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        a[x]++;
        a[y]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]%2==1)
              ans++;
    }
    if(ans)
       cout<<ans/2;
    else
       cout<<ans+1;
    return 0;
}

2、如果考虑图存在不连通的可能，就需要并查集维护。

　　显然此题并没有说明数据情况，按理来说是要按照此种方式处理的，但是评测出现了错误，暂且认为是数据问题

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a,b,fa[1010],cnt[1010]={0},ans=0;
bool dg[1010],visit[1010];
long long read()//快读 
{
    long long ans=0;
    char ch=getchar(),last=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {last=ch;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {ans=ans*10+ch-'0';ch=getchar();}
    if(last=='-')ans=-ans;
    return ans;
}
int get(int k)//寻找根节点 
{
    if(fa[k]==k)return k;
    else return fa[k]=get(fa[k]);
}
void Union(int x,int y)//合并 
{
    fa[get(x)]=get(y);
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
     fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
     a=read();b=read();
     dg[a]=!dg[a];dg[b]=!dg[b];
     //真为奇数，假为偶数 
     visit[a]=true;
     visit[b]=true;
     //访问过标记为true
     if(get(a)!=get(b))Union(a,b);
     //如果不在一个集合就合并 
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
     if(dg[i])cnt[get(i)]++;
     //统计每个点所在的图共有几个度数为奇数的 
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(get(i)==i&&visit[i]){
        //如果是根节点同时已经被访问过 
         if(cnt[i]>0)ans+=cnt[i]>>1;
         //加上该图的答案 
         else ans++;
         //否则该图可以一笔画，答案加1 
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

另外总结欧拉图相关知识如下：

存在欧拉回路的图为欧拉图，如果仅存在欧拉通路（即：一笔画完成后不能回到起点，无法构成回路），为欧拉半图。

平凡图：一个点构成的图

无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的，且G中恰有0或2个奇度顶点，一个为起点，一个为终点
有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。
有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有2个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度。