一、引文
1.欧拉函数：指不超过n且与n互素的正整数的个数，其中，n是一个正整数。
二、相关知识
1.算数函数：定义在所有正整数上的函数称为算数函数。
2.乘性函数（积性函数）：对算数函数ƒ 如果满足对任意两个互素的正整数n和m，均有ƒ(nm)=ƒ(n)ƒ(m)。
3.完全乘性函数（完全积性函数）:对任意的两个正整数n和m，均有ƒ(nm)=ƒ(n)ƒ(m)。
三、性质
1.如果p是素数，那么φ(p)=p-1；反之，如果p是一个正整数且满足φ(p)=p-1，那么p是素数。
2.如果p是素数，a是一个正整数，那么φ(pa)=pa-pa-1.
证明：pa不互质的有p×1,p×2,…,p×(pa-1-1),p×pa-1 共pa-1个，那么与它互质的就刚好有pa-pa-1。得证。
3.欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。
4.推论：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
证明：由3可知欧拉函数是积性函数，所以φ(2n)=φ(2)φ(n)=φ(n)，得证。
5.设n=(p1)a1(p2)a2 … (pk)ak为正整数n的素数幂分解，那么
φ(n)=n•（1-1/p1）•（1-1/p2）•…•(1-1/pk)
有了上面的一些性质，这些证明都比较易证。一般也通过此公式来求解欧拉函数的值。
6.若gcd(n,i) = 1, 那么gcd(n, n-i)=1.
证明：（反证法）先假设gcd(n, n-i)=k且k!=1，那么n%k=0, (n-i)%k=0，可以推出 n = x*k, n-i = y*k，再往下推一步 i = (x-y)*k，这就与gcd(n,i)=1矛盾了。得证。
7.设n是一个大于2的正整数，那么φ(n)是偶数。
8.设n为一个正整数，那么
证明：假设左边=F(n)，先证明F(n)是积性函数，直接把F(m)F(n)用上式左边代入后展开，可以看到最后的展开式就是m*n的各个因子的欧拉函数值相加，所以得到F(n)是积性函数。再根据
展开
根据上述性质2
推出
得证。
9.欧拉定理：对任何两个互质的正整数a,m(m≥2)，有aφ(m)≡1(mod m).
四、代码实现
1.纯粹且不优雅的无脑实现
兄台，你还能再暴力一点吗！
int phi(int n)
{
int rea = n;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(n%i == 0) //找到了素因子
{
rea = rea - rea/i; //rea*(1-1/i)
do
{
n/=i;
}
while(n%i==0);
}
}
return rea;
}
2.线性筛素数表实现
我只想说，我TM之前学的筛素数都是假的！
const int MAXN = 1e5;
bool isPrime[MAXN];
int Prime[MAXN], Cnt;
void getPrime()
{
memset(isPrime, 0, sizeof(isPrime));
Cnt = 0;
for(int i = 2; i < MAXN; i++)
{
if(!isPrime[i])
{
Prime[Cnt++] = i;
}
for(int j = 0; j < Cnt && i*Prime[j] < MAXN; j++)
{
isPrime[i*Prime[j]] = 1;
if(i%Prime[j] == 0)
break;
}
}
}
int phi(int n)
{
int rea = n;
for(int i = 0; Prime[i]*Prime[i] <= n; i++)
{
if(n%Prime[i] == 0)
{
rea = rea - rea/Prime[i]; //rea = rea*(1-1/p)
do
{
n/=Prime[i];
}while(n%Prime[i] == 0);
}
}
if(n > 1)
rea = rea - rea/n;
return rea;
}
3.递推求欧拉函数
如果频繁的要用欧拉函数值，就需要先打表。
咦~~，我们好像在哪见过，和埃式筛素数怎么这么像呢~
可以先预先置所有欧拉函数值都为本身。如果再从小到大遍历的过程中，发现该欧拉函数的值与下标相当，就表明该数是素数，然后再通过欧拉函数的求法，乘以(1-1/p)。然后再把有该素因子的数的欧拉函数的值再修改一下，就可以了。复杂度为O(n*ln(n))
const int MAXN = 1e5;
int Phi[MAXN];
int Euler()
{
for(int i = 1; i < MAXN; i++) Phi[i] = i;
for(int i = 2; i < MAXN; i+=2) Phi[i]/=2;
for(int i = 3; i < MAXN; i+=2)
{
if(Phi[i] == i) //i是素数
{
for(int j = i; j < MAXN; j+=i)
{
Phi[j] = Phi[j]/i*(i-1); // x*(1-1/i) Phi[j]有素因子i
}
}
}
}
4.线性欧拉函数值
void Pre()
{
tot = 0;
memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
isPrime[0] = isPrime[1] = 0;
Phi[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++)
{
if(isPrime[i])
{
Prime[tot++] = i;
Phi[i] = i - 1;
}
for(int j = 0; (ll)i * Prime[j] < maxn && j < tot; j++)
{
isPrime[i * Prime[j]] = 0;
if(i % Prime[j] == 0)
{
Phi[i * Prime[j]] = Prime[j] * Phi[i];
break;
}
Phi[i * Prime[j]] = Phi[i] * (Prime[j] - 1);
}
}
}
五、扩展学习
下面是学习的另外一篇博主的博客，他写的比我好，我把他没证的一点内容证了，在此感谢这位博主。
https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html
另一种，比上面更快的方法
需要用到如下性质
p为质数
1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质
2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p （我不会证明）
3.若i mod p ≠0, 那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 ) （我不会证明）
（所以我说我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭）
第一个证明如下，第二个证明原理相同，只不过i没有素因子p。
欧拉函数是积性函数，能分开的前提是gcd(a,b)=1
素数次幂的欧拉函数值反向运用
得证。
const int MAXN = 1e6;
int Prime[MAXN], Phi[MAXN];
int tot; //记录素数个数
void Euler()
{
memset(Phi, 0, sizeof(Phi));
Phi[1] = 1;
tot = 0;
for(int i = 2; i < MAXN; i++)
{
if(!Phi[i]) //i为素数
{
Prime[tot++] = i;
Phi[i] = i - 1;
}
for(int j = 0; j < tot && (long long)Prime[j]*i < MAXN; j++)
{
if(i%Prime[j])
{
Phi[ i*Prime[j] ] = Phi[i]*(Prime[j] - 1);
}
else // Prime[j]是i的素因子
{
Phi[ i*Prime[j] ] = Phi[i]*Prime[j];
break;
}
}
}
}
还有以下几个实用的公式
假设a与p互质
因为
所以
如果p是素数
这个公式的意义在于在求指数幂的时候，如果b非常大，我们可以不用死求a^b的快速幂，可以先对b取模再求。